Beide Produkte dieses Kurses kommen jetzt zusammen: erst das Vektorprodukt, dann das Skalarprodukt. Heraus kommt wieder eine Zahl — und diese Zahl ist ein Volumen.
Damit fällt die letzte offene Größe am Schulgebäude: 1600 m³. Und nebenbei wird die Komplanaritätsprüfung aus Lektion 5 von einem Gleichungssystem auf eine einzige Rechnung eingedampft.
1 · Einstieg: Wie viel Luft steht im Gebäude?
Die Heizung muss ausgelegt werden, und dafür braucht der Planer nicht die Grundfläche, sondern den Rauminhalt. Beim Schulgebäude ist das keine Schulbuchaufgabe: Es ist kein Quader, denn das Dach fällt von 12 m auf 8 m ab.
Drei Anläufe, die man nehmen könnte
„Grundfläche mal Höhe.“ Welche Höhe? Vorne 8 m, hinten 12 m. Mit der einen rechnet man zu wenig, mit der anderen zu viel.
„Dann eben mit der mittleren Höhe.“ Das geht hier tatsächlich — aber nur, weil das Dach eine ebene, gleichmäßig fallende Fläche ist. Für einen beliebigen schiefen Körper hilft die Idee nicht weiter.
„Zerlegen.“ Das ist der tragfähige Weg: einen Quader plus einen Keil. Nur braucht man dafür ein Werkzeug, das das Volumen eines schiefen Körpers aus seinen Kantenvektoren berechnet.
Dieses Werkzeug ist das Spatprodukt. Ein „Spat“ ist ein Körper, der von drei Vektoren aufgespannt wird — wie ein Quader, nur schief. Und das Spatprodukt macht genau drei Dinge:
✓Es liefert das Volumen dieses Spats — und mit den Faktoren 12 und 16 auch das eines Prismas und einer Pyramide.
✓Es erkennt Komplanarität an einer einzigen Null — dort, wo in Lektion 5 noch ein überbestimmtes Gleichungssystem stand.
✓Und es misst sogar, wie weit ein Punkt neben einer Ebene liegt. Davon lebt der ganze Kurs „Geraden und Ebenen im Raum“.
Neu zu lernen ist dabei nichts: Das Spatprodukt ist das Vektorprodukt aus Lektion 2, gefolgt vom Skalarprodukt aus Lektion 1. Zwei bekannte Rechnungen, hintereinandergesetzt.
2 · Lernziele
Nach dieser Lektion kannst du:
✓das Spatprodukt dreier Vektoren berechnen und sagen, in welcher Reihenfolge gerechnet wird
✓erklären, warum sein Betrag ein Volumen ist — Grundfläche mal Höhe
✓das Volumen von Spat, Prisma und Pyramide berechnen und die Faktoren 12 und 16 richtig zuordnen
✓drei Vektoren bzw. vier Punkte auf Komplanarität prüfen
✓begründen, warum in der Volumenformel ein Betrag steht
✓bei einem parameterabhängigen Vektor alle Werte bestimmen, für die Komplanarität vorliegt oder ein vorgegebenes Volumen herauskommt
3 · Erklärung
3.1 Das Spatprodukt — zwei bekannte Rechnungen hintereinander
Spatprodukt
Für drei Vektoren a, b und c heißt die Zahl
(a × b) ∘ c
das Spatprodukt der drei Vektoren.
Die Reihenfolge ist zwingend: Zuerst das Vektorprodukt a × b — das ergibt einen Vektor. Dann das Skalarprodukt dieses Vektors mit c — das ergibt eine Zahl. Andersherum ginge es gar nicht: b ∘ c wäre eine Zahl, und zwischen einem Vektor und einer Zahl gibt es kein Vektorprodukt.
Was die Merkhilfe dazu sagt — und was nicht
Das Wort „Spatprodukt“ steht nicht in der Merkhilfe. Du findest dort zwei Stellen, an denen dieser Ausdruck vorkommt, beide im Abschnitt 4 Geometrie:
• die Volumenformel der Pyramide: V = 16 · | (AB × AC) ∘ AD |
• das Kriterium für lineare Unabhängigkeit: a ∘ (b × c) ≠ 0
Beachte die Klammern im zweiten Fall. Dort steht a ∘ (b × c), bei uns (a × b) ∘ c. Das ist dieselbe Zahl — man darf die drei Vektoren zyklisch weiterschieben, also a → b → c → a. Man muss das nicht beweisen, aber wissen, dass beide Schreibweisen dasselbe meinen.
Die Formel für das Volumen eines Spats steht dort nicht. Sie wird gleich hergeleitet — und sie ist die einfachste von allen.
3. Ergebnis: Das Spatprodukt ist −9. Das Volumen des Spats beträgt 9 — dazu gleich mehr in 3.5.
3.2 Warum das ein Volumen ist
Beide Faktoren der Rechnung haben eine anschauliche Bedeutung, und zusammen ergeben sie genau „Grundfläche mal Höhe“.
Die Herleitung in zwei Schritten
Der erste Faktor ist die Grundfläche. Nach Lektion 2 ist |a × b| der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms — der Grundfläche des Spats.
Der zweite Faktor ist die Höhe. Der Vektor a × b steht senkrecht auf dieser Grundfläche. Nach Lektion 1 gilt (a × b) ∘ c = |a × b| · |c| · cos ψ, wobei ψ der Winkel zwischen c und dieser Senkrechten ist. Und |c| · cos ψ ist genau der Teil von c, der senkrecht über der Grundfläche liegt — die Höhe h.
(a × b) ∘ c = Grundfläche · Höhe
Deshalb ist V = |(a × b) ∘ c| das Volumen des Spats.
Der Spat ist ein „schiefer Quader“: drei Vektoren, drei Kantenrichtungen. Für den Quader ist die Formel nichts Neues — dort steht sie nur ausführlicher da als „Länge mal Breite mal Höhe“.
So sind die Raumbilder gezeichnet. Eine Pfeilspitze steht immer für einen Vektor, also für eine Verschiebung. Gestrichelt sind Hilfslinien: Lote, Projektionen, Verlängerungen. Eine blasse Fläche ist der gezeichnete Ausschnitt einer Ebene — die Ebene selbst hört dort nicht auf.
3.3 Drei Körper, eine Rechnung
Die drei Volumenformeln
Spat:V = |(a × b) ∘ c| — hergeleitet in 3.2, steht nicht in der Merkhilfe.
Dreiseitiges Prisma:V = 12 · |(a × b) ∘ c| — die Grundfläche ist statt des Parallelogramms nur das halbe Dreieck.
Dreiseitige Pyramide:V = 16 · |(AB × AC) ∘ AD| — so steht es wörtlich in der Merkhilfe, mit den Verbindungsvektoren eines Punktes A zu den drei anderen Ecken.
Woher die Faktoren kommen: Der Spat zerfällt in zwei deckungsgleiche dreiseitige Prismen, und jedes Prisma wiederum in drei Pyramiden gleichen Volumens — zusammen also sechs. Deshalb 12 und 16.
Der häufigste Fehler in Prüfungen ist nicht die Rechnung, sondern der Faktor. Lies die Aufgabe zweimal: Ist nach einem Spat gefragt, nach einem Prisma oder nach einer Pyramide?
3.4 Komplanarität — an einer einzigen Null
Komplanaritätskriterium
a, b, c komplanar ⇔ (a × b) ∘ c = 0
Drei Vektoren liegen genau dann in einer gemeinsamen Ebene, wenn ihr Spatprodukt null ist.
Warum das so ist: Liegen alle drei in einer Ebene, so hat der von ihnen aufgespannte Spat keine Höhe — er ist platt und hat das Volumen null. Umgekehrt: Ist das Volumen null, so ragt c nicht aus der von a und b aufgespannten Ebene heraus.
Vier Punkte in einer Ebene:A, B, C und D liegen genau dann in einer Ebene, wenn (AB × AC) ∘ AD = 0 ist — alle drei Vektoren vom selben Punkt aus.
In der Merkhilfe steht die Umkehrung: a ∘ (b × c) ≠ 0 bedeutet linear unabhängig, und das ist dasselbe wie „nicht komplanar“.
Der Vergleich mit Lektion 5
Dort hast du Komplanarität so geprüft: Ansatz r · a + s · b = c, daraus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten, zwei davon lösen, mit der dritten die Probe machen. Das ist ein überbestimmtes System und braucht eine halbe Seite.
Jetzt: ein Vektorprodukt, ein Skalarprodukt, ein Blick auf das Ergebnis. Drei Zeilen.
Was der neue Weg zusätzlich liefert: Ist die Zahl nicht null, so sagt sie auch noch, wie weit daneben — nämlich das Volumen des entstehenden Spats. Das alte Verfahren sagt in diesem Fall nur „Widerspruch“.
Was der alte Weg noch kann: Er liefert im komplanaren Fall die Faktoren r und s. Braucht man die, führt am Gleichungssystem nichts vorbei.
3.5 Warum ein Betrag in der Formel steht
Das Vorzeichen ist kein Fehler
Das Spatprodukt kann negativ sein — im Kurzbeispiel aus 3.1 kam −9 heraus. Vertauscht man dort a und b, so steht +9 da, denn das Vektorprodukt dreht beim Vertauschen sein Vorzeichen um (Antikommutativgesetz, Lektion 2).
Das Vorzeichen beschreibt also nur, in welcher Reihenfolge man die drei Vektoren genommen hat — in der Fachsprache: die Orientierung. Mit dem Körper hat es nichts zu tun.
Ein Volumen ist nie negativ. Deshalb steht in allen drei Formeln ein Betrag. Wer als Volumen −9 hinschreibt, hat richtig gerechnet und die Antwort falsch aufgeschrieben.
Für die Komplanarität ist das gleichgültig: Ob eine Zahl null ist, hängt nicht vom Vorzeichen ab. Dort darf man den Betrag also weglassen.
3.6 Aufgaben mit einem Parameter
Zum dritten Mal in diesem Kurs dasselbe Muster — und zum dritten Mal entscheidet der Bau der Gleichung über die Zahl der Lösungen.
Zwei Typen
Typ 1: Komplanarität. Ansatz (a × b) ∘ c(t) = 0. Steht der Parameter nur in einem der drei Vektoren, so entsteht eine lineare Gleichung — eine einzige Gleichung, nicht drei wie beim Kollinearitätskriterium. Sie hat genau eine Lösung.
Typ 2: Volumen. Ansatz |(a × b) ∘ c(t)| = V. Innen steht dieselbe lineare Funktion, außen ein Betrag. Eine Gleichung der Form |k · t + d| = V hat für V > 0zwei Lösungen: einmal mit +V, einmal mit −V.
Der Unterschied zu den Lektionen 1 und 2: Dort kam die zweite Lösung aus einem Quadrat. Hier kommt sie aus dem Betrag. Das Ergebnis ist dasselbe — zwei Werte —, aber der Rechenweg ist einfacher: kein Quadrieren, keine Wurzel.
So schreibt man eine Betragsgleichung auf
Aus |t − 9| = 3 wird t − 9 = 3odert − 9 = −3.
Beide Fälle einzeln auflösen: t = 12 und t = 6. Beide gehören zur Antwort.
Die Kontrolle im Kopf: Die beiden Lösungen liegen immer symmetrisch um die Nullstelle — hier um t = 9, jeweils 3 nach links und nach rechts. Passt das nicht, hat man sich verrechnet.
4 · Musteraufgaben
Die erste löst die Frage des Einstiegs. Die zweite zeigt, was das Spatprodukt kann und das Gleichungssystem aus Lektion 5 nicht. Die dritte ist die Prüfungssorte. Sieh dir jeweils zuerst das Bild an — die Rechnung darunter bestätigt Schritt für Schritt, was dort zu sehen ist.
Musteraufgabe 1 — Der Rauminhalt des Schulgebäudes
Die Zerlegung ist nicht die einzig mögliche — man könnte auch drei Pyramiden nehmen. Sie ist nur die bequemste, weil beide Teile achsenparallele Kanten haben und die Vektorprodukte dadurch fast von selbst dastehen.
Schritt für Schritt
Aufgabe: Das Gebäude hat die Grundfläche 10 m × 16 m, ist hinten 12 m und vorne 8 m hoch. Berechne seinen Rauminhalt, indem du ihn in einen Quader und einen Keil zerlegst.
1. Die Zerlegung: Bis zur Höhe 8 m ist der Körper ein Quader. Darüber sitzt ein Keil — ein dreiseitiges Prisma, dessen Querschnitt das Dreieck mit den Ecken (0|0|8), E(10|0|8) und D(0|0|12) ist.
2. Der Quader: Kantenvektoren a = (10 | 0 | 0), b = (0 | 16 | 0), c = (0 | 0 | 8).
3. Vektorprodukt:a × b = (0 | 0 | 160) — senkrecht nach oben, wie es bei zwei waagrechten Vektoren sein muss.
5. Der Keil: Kantenvektoren u = (10 | 0 | 0), v = (0 | 16 | 0), w = (0 | 0 | 4). Der zugehörige Spat misst |(u × v) ∘ w| = 640.
6. Halbieren: Der Keil ist ein dreiseitiges Prisma, also die Hälfte des Spats: V₂ = 12 · 640 = 320 m³. Hier entscheidet sich die Aufgabe — wer den Faktor vergisst, rechnet 640 statt 320.
7. Zusammenzählen:V = 1280 + 320 = 1600 m³.
8. Antwortsatz und Gegenprobe: Das Gebäude hat einen Rauminhalt von 1600 m³. Kontrolle über den Querschnitt: Das Trapez misst ((12 + 8) : 2) · 10 = 100 m², mal 16 m Tiefe ergibt ebenfalls 1600 m³ ✓
Musteraufgabe 2 — Liegen vier Punkte in einer Ebene?
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist der eigentliche Grund, warum das Spatprodukt bei Geraden und Ebenen wieder auftaucht. Hier fällt er als Nebenprodukt ab: Volumen geteilt durch Grundfläche.
Schritt für Schritt
Aufgabe: Ein Solarmodul soll an A(0|0|12), B(5|0|10), C(0|8|12) und D(5|8|10) befestigt werden. Prüfe mit dem Spatprodukt, ob die vier Punkte in einer Ebene liegen. Untersuche außerdem E(5|8|9), der einen Meter tiefer sitzt, und gib an, wie weit E von der Ebene entfernt ist.
1. Drei Vektoren vom selben Punkt:AB = (5 | 0 | −2), AC = (0 | 8 | 0), AD = (5 | 8 | −2).
6. Zweite Antwort: Nicht null, also liegt E nicht in der Ebene. Der Spat mit den Kanten AB, AC und AE hat das Volumen 40 m³ — das Minuszeichen sagt nur etwas über die Reihenfolge.
7. Und wie weit daneben? Volumen ist Grundfläche mal Höhe, also ist die Höhe V : Grundfläche. Die Grundfläche ist |AB × AC| = √1856 = 8 · √29 ≈ 43,08 m² (Lektion 2). Damit h = 40 : 43,08 ≈ 0,93 m.
8. Antwortsatz:A, B, C, D liegen in einer Ebene; E liegt rund 0,93 m davon entfernt. Beachte: E liegt zwar einen ganzen Meter senkrecht unterD, aber nur 0,93 m von der Ebene entfernt — der Unterschied ist der Faktor cos(21,80°), also der Neigungswinkel aus Lektion 1.
Musteraufgabe 3 — Zwei Parameteraufgaben
Der Graph macht beide Teilaufgaben auf einmal sichtbar: Die Spitze der V-Form ist die Komplanarität, und jede waagrechte Gerade darüber schneidet die Kurve zweimal. Genau das ist der Grund für die zwei Lösungen — und man sieht sofort, dass es nie drei oder vier sein können.
1. Einmal vorbereiten:a × b = (6 | −3 | 1). Diesen Vektor braucht man für beide Teilaufgaben — er hängt nicht von t ab.
2. Spatprodukt mit Parameter:(6 | −3 | 1) ∘ (2 | 7 | t) = 12 − 21 + t = t − 9.
Aufgabe a): Für welches t sind die drei Vektoren komplanar?
3. Lösen:t − 9 = 0, also t = 9. Eine lineare Gleichung, genau eine Lösung.
4. Probe und Rückblick: Für t = 9 ist c = (2 | 7 | 9), und tatsächlich gilt (2 | 7 | 9) = 2 · a + 3 · b. Das ist genau das Beispiel aus Lektion 5 — dort hat die Rechnung ein überbestimmtes Gleichungssystem gebraucht, hier eine Zeile.
Aufgabe b): Für welche t hat der von a, b und c(t) aufgespannte Spat das Volumen 3?
5. Ansatz:|t − 9| = 3.
6. In zwei Fälle zerlegen:t − 9 = 3 gibt t = 12; t − 9 = −3 gibt t = 6.
7. Kontrolle: Beide Werte liegen 3 von der Nullstelle t = 9 entfernt — einmal darüber, einmal darunter. Das muss immer so sein.
8. Antwortsatz: Für t = 6 und für t = 12 hat der Spat das Volumen 3. Wäre nach einer Pyramide mit dem Volumen 3 gefragt, müsste man 16 · |t − 9| = 3 ansetzen und käme auf |t − 9| = 18 — also t = 27 und t = −9. Der Faktor entscheidet über das Ergebnis.
5 · Digitale Werkzeuge
„Komplanar heißt: der Spat ist platt“ — hier kannst du ihn plattdrücken. Ein Regler hebt den dritten Vektor aus der Dachebene heraus, und das angezeigte Volumen wandert genau im selben Takt mit.
5.1 Explorer: der Spat wird flach
Angesetzt wird in A(0|0|12). Fest sind a = (5 | 0 | −2) und b = (0 | 8 | 0) — beide liegen in der Dachebene und spannen die goldene Grundfläche auf. Beweglich ist c(t) = (5 | 8 | t); der Regler ändert nur den dritten Eintrag.
Bei t = −2 ist die Spitze genau der Punkt D(5|8|10) aus Musteraufgabe 2, bei t = −3 der Punkt E(5|8|9).
Parameter t–
c(t)–
Spatprodukt (mit Vorzeichen)–
Volumen des Spats–
Lage der drei Vektoren–
Drei Dinge, die du hier sehen sollst
Erstens: Bei t = −2 fällt der rote Deckel genau auf die goldene Grundfläche. Der Spat hat keine Höhe mehr, das Volumen ist 0 — das ist die Komplanarität aus 3.4, zum Anfassen.
Zweitens: Das Spatprodukt wechselt dort das Vorzeichen, das Volumen nicht. Links von t = −2 steht in der einen Zeile eine negative Zahl, in der anderen dieselbe Zahl ohne Vorzeichen. Genau dafür steht der Betrag in der Formel (3.5).
Drittens: Bei t = −3 zeigt die Anzeige −40 und 40. Das ist Musteraufgabe 2: Der Punkt E liegt einen Meter unter D, und der davon aufgespannte Spat misst 40 m³.
5.2 Arbeitsauftrag für GeoGebra 3D
Digitale Werkzeuge — Arbeitsauftrag
GeoGebra hat keinen eigenen Befehl für das Spatprodukt — man setzt es aus den beiden bekannten zusammen. Öffne den 3D-Rechner:
Spatprodukt: Kreuzprodukt(a,b) c — erst das Kreuzprodukt, dann ein Leerzeichen für das Skalarprodukt. Kommt 0 heraus?
Ändere c auf (2,7,12) und rechne noch einmal. Vergleiche mit Musteraufgabe 3.
Probier die Klammern der Merkhilfe: a Kreuzprodukt(b,c). Dasselbe Ergebnis?
Und die Reihenfolge: Kreuzprodukt(b,a) c. Was ändert sich, was bleibt?
Im CAS: Löse(Kreuzprodukt((1,2,0),(0,1,3)) (2,7,t) = 0, t) und danach Löse(abs(t-9)=3, t).
Kein Internet oder Seite gesperrt? Dann nutze den Explorer oben; für a) und b) reicht er vollständig aus.
Erst schieben, dann erklären
leicht
a) Ablesen. Drei Werte aus der Anzeigeleiste:
Bei welchem t ist das Volumen 0? t =
Spatprodukt bei t = 0:
Volumen bei t = −6:
b) Beobachten. Schiebe den Regler langsam durch den ganzen Bereich.
Bei t = −2 zeigt die Anzeige
Links und rechts von t = −2 gilt
c) Erklären. Warum ist das Volumen genau bei einer einzigen Reglerstellung null und nicht bei zweien — obwohl doch jedes andere Volumen zweimal vorkommt? Beziehe dich auf die Gestalt der Gleichung. Schreibe drei bis vier Sätze.
6 · Übungsaufgaben
Sieben Aufgaben, gestaffelt von leicht bis Transfer. Drei Ratschläge: Rechne immer erst das Vektorprodukt aus und mach die Probe. Frag dich vor der Antwort, ob ein Spat, ein Prisma oder eine Pyramide gemeint ist. Und schreibe ein Volumen nie mit Minuszeichen auf.
Aufgabe 1 — Ein Spatprodukt von Hand
leicht
Gegeben sind a = (1 | 2 | 3), b = (4 | 5 | 6) und c = (2 | 0 | 1).
a) Bestimme a × b.
b) Berechne das Spatprodukt (a × b) ∘ cmit Vorzeichen.
c) Wie groß ist das Volumen des Spats?
Aufgabe 2 — Komplanar oder nicht?
leicht
Berechne für beide Tripel das Spatprodukt.
a)(1 | 0 | 0), (0 | 1 | 0), (3 | 4 | 0):
b)(1 | 1 | 0), (0 | 1 | 1), (1 | 0 | 1):
c) Welches der beiden Tripel ist komplanar — und woran sieht man es dem ersten schon vor der Rechnung an?
Aufgabe 3 — Volumen einer Pyramide
mittel
Gegeben ist die Pyramide mit A(1|0|2), B(3|2|2), C(1|4|6) und D(3|1|7). Die ersten drei Punkte kennst du aus Lektion 2.
a) Bestimme AB × AC.
b) Berechne das Spatprodukt (AB × AC) ∘ AD.
c) Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
d) Und wie groß wäre das dreiseitige Prisma über derselben Grundfläche?
Aufgabe 4 — Parameter und Komplanarität
mittel
Gegeben sind a = (1 | 0 | 2), b = (0 | 3 | 0) und c(t) = (t | 5 | 4).
a) Bestimme a × b — dieser Vektor hängt nicht von t ab.
b) Für welches t sind die drei Vektoren komplanar?
t =
c) Wie viele Lösungen hat eine Komplanaritätsbedingung mit einem Parameter im Normalfall?
Aufgabe 5 — Parameter und Volumen
mittel
Dieselben Vektoren wie in Aufgabe 4: a = (1 | 0 | 2), b = (0 | 3 | 0), c(t) = (t | 5 | 4). Für welche t hat der Spat das Volumen 18?
a) Die beiden Lösungen (Reihenfolge egal):
t =
und t =
b) Woher kommt die zweite Lösung?
c) Erkläre in drei bis vier Sätzen, warum die Komplanaritätsbedingung genau eine Lösung hat, die Volumenbedingung dagegen zwei — und wie die beiden Lösungen zur Lösung aus Aufgabe 4 liegen.
Aufgabe 6 — Zwei Behauptungen prüfen
Transfer
Entscheide jeweils, ob die Behauptung für alle Vektoren gilt. Achtung: Diesmal ist nicht beides falsch.
a) „Kommt beim Spatprodukt eine negative Zahl heraus, so hat man sich verrechnet.“
b) „Sind zwei der drei Vektoren kollinear, so ist das Spatprodukt null.“
c) Begründe beide Antworten — bei der falschen mit einem Gegenbeispiel, bei der wahren mit einem Argument, das für alle Fälle gilt.
Aufgabe 7 — Eine Pyramide im Schulgebäude
Transfer
Betrachtet wird die Pyramide mit der Grundfläche OAB und der Spitze D: O(0|0|0), A(10|0|0), B(10|16|0) und D(0|0|12).
a) Bestimme OA × OB.
b) Berechne das Volumen der Pyramide in m³.
c) Welchen Anteil am Gesamtvolumen des Gebäudes hat diese Pyramide? Erkläre außerdem, warum das Spatprodukt hier so wenig Arbeit macht — sieh dir dazu an, wo OA und OB liegen und wohin ihr Vektorprodukt zeigt. Vergleiche zum Schluss mit der Formel 13 · G · h aus der Merkhilfe.
7 · Selbstkontrolle
Acht Aufgaben quer durch die Lektion — und damit zugleich durch den ganzen Kurs. Rechne jeweils kurz nebenbei; am Ende bekommst du dein Ergebnis und, falls nötig, eine gezielte Empfehlung.
1. Das Ergebnis eines Spatprodukts ist …
2. Es ist a × b = (2 | −1 | 3) und c = (1 | 4 | 2). Wie groß ist das Spatprodukt?
Ergebnis =
3. Das Spatprodukt dreier Vektoren ist null. Was folgt daraus?
4. Ein Spat hat das Volumen 30. Wie groß ist die Pyramide über derselben Grundfläche mit derselben dritten Kante?
Volumen =
5. Warum steht in der Volumenformel ein Betrag?
6. Wie groß ist der Rauminhalt des Schulgebäudes in m³?
Volumen =
7. Was findest du zum Spatprodukt in der Merkhilfe?
8. Für welches t sind (1 | 0 | 2), (0 | 3 | 0) und (t | 5 | 4) komplanar?
t =
Dein Ergebnis
–
Für die Abgabe: Der Text unten enthält deine vollständige Bearbeitung aus den Abschnitten 5 bis 7. Kopieren und in die Aufgabe „Lektion 8 – Ergebnisabgabe“ auf eurer Lernplattform einfügen.
Lektion 8 von 8 des Kurses „Vektoren im Raum“
Diese Lektion gehört zum Selbstlernkurs
„Vektoren im Raum“. Die Lektionen bauen aufeinander auf:
Punkte im Raum und das Schrägbild
Was ein Vektor ist — und was er nicht ist
Rechnen mit Vektoren: addieren und strecken
Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
Kollinear, komplanar und die Linearkombination
Das Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität
Das Vektorprodukt: der Vektor, der senkrecht steht
Das Spatprodukt: Rauminhalt und Komplanarität ← diese Lektion
Jede Lektion bringt drei vollständig gerechnete Musteraufgaben, einen
Arbeitsauftrag am dynamischen Werkzeug, sieben gestufte Übungsaufgaben mit
sofortiger Rückmeldung und acht Selbstkontrollfragen.
Lektion 1 ist als kostenlose Leseprobe erhältlich. Alle Lektionen gibt es einzeln;
als Gesamtpaket sind sie deutlich günstiger. Du findest sie im Profil von Christoph Mitterer.
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