Mathematik · Vektoren im Raum

Vektoren im Raum — Lektion 7: Das Vektorprodukt

a × b = (64 | 0 | 160) Der Vektor, der senkrecht steht

Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren eine Zahl. Das zweite Produkt dieses Kurses macht aus zwei Vektoren wieder einen Vektor — und zwar genau den, der auf beiden senkrecht steht.

Sein Betrag ist obendrein ein Flächeninhalt. Damit fällt in dieser Lektion die Zahl, die seit Lektion 1 unbegründet herumsteht: 172,33 m².

1 · Einstieg: Eine Zahl, die niemand nachgerechnet hat

Seit der ersten Lektion steht in jeder Aufgabe zum Schuldach derselbe Wert: Die Dachfläche misst 172,33 m². Du hast damit gerechnet, wie viele Module daraufpassen und was die Eindeckung kostet. Nachgerechnet hat die Zahl bisher niemand — sie stand einfach da.

Warum das nicht so einfach ist

Das Dach ist kein Rechteck im Grundriss. Von oben betrachtet misst es 10 m × 16 m = 160 m². Das ist aber die Grundfläche, nicht die Dachfläche — das Dach ist geneigt und deshalb größer.

Der Sparren ist die wahre Länge. Er misst √116 ≈ 10,77 m, nicht 10 m. Damit käme man auf 10,77 · 16 ≈ 172,33 — aber nur, weil Sparren und Traufe zufällig senkrecht aufeinander stehen. Bei einem schiefen Dach stimmt diese Rechnung nicht mehr.

Gesucht ist ein Verfahren, das immer trägt — auch für ein Dreieck, auch für ein schief zugeschnittenes Modul, auch wenn nichts senkrecht ist.

Dieses Verfahren ist das Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt. Anders als das Skalarprodukt liefert es wieder einen Vektor, und dieser Vektor kann zwei Dinge auf einmal:

✓Seine Richtung steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren. Damit liefert er den Normalenvektor, der in Lektion 1 noch geschenkt war.
✓Sein Betrag ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden aufspannen. Damit fällt die Dachfläche.
✓Und er erkennt Kollinearität an einer einzigen Bedingung: Er ist genau dann der Nullvektor, wenn die beiden in dieselbe Richtung zeigen.

Drei Fragen, ein Produkt. Am Ende dieser Lektion kannst du die 172,33 m² selbst herleiten — und sagen, warum sie stimmen.

2 · Lernziele

Nach dieser Lektion kannst du:

✓das Vektorprodukt zweier Vektoren nach dem Schema der Merkhilfe berechnen und das Ergebnis durch zwei Skalarprodukte prüfen
✓mit dem Vektorprodukt einen Normalenvektor zu zwei Vektoren bestimmen und ihn sinnvoll kürzen
✓die Rechengesetze anwenden — vor allem das Antikommutativgesetz — und sagen, welche Regel nicht gilt
✓zwei Vektoren mit dem Vektorprodukt auf Kollinearität prüfen
✓den Flächeninhalt eines Parallelogramms und eines Dreiecks im Raum berechnen
✓bei einem parameterabhängigen Vektor alle Werte bestimmen, für die Kollinearität vorliegt oder ein vorgegebener Flächeninhalt herauskommt

3 · Erklärung

3.1 Das Vektorprodukt — zwei Vektoren, ein neuer Vektor

Die Rechenvorschrift sieht auf den ersten Blick unhandlich aus. Sie hat aber ein Schema, das man sich in zwei Minuten merkt.

Vektorprodukt im Raum

Für a = (a₁ | a₂ | a₃) und b = (b₁ | b₂ | b₃) heißt

a × b = ( a₂·b₃ − a₃·b₂ | a₃·b₁ − a₁·b₃ | a₁·b₂ − a₂·b₁ )

das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) von a und b.

Merkhilfe, Abschnitt 4 Geometrie. Dort steht die Formel wörtlich, allerdings als Spalte geschrieben. Schlag sie nach — in der Prüfung musst du sie nicht auswendig können, aber du musst sie lesen können.

Das Schema: eine Zeile zuhalten

Schreibe die beiden Vektoren als Spalten nebeneinander. Für die erste Zeile des Ergebnisses hältst du die erste Zeile beider Spalten zu. Übrig bleiben vier Zahlen — die multiplizierst du über Kreuz und ziehst ab.

Für die zweite Zeile des Ergebnisses hältst du die zweite Zeile zu, für die dritte die dritte. Immer dasselbe Muster.

Die eine Ausnahme: In der mittleren Zeile läuft der Plus-Term andersherum, nämlich von unten nach oben. Wer das übersieht, bekommt in der zweiten Komponente das falsche Vorzeichen — und das ist der mit Abstand häufigste Fehler bei diesem Produkt.

Dasselbe Beispiel dreimal, einmal je Ergebniszeile. Rechne es einmal selbst mit — und achte dabei besonders auf die mittlere Spalte. Das Ergebnis lautet (−3 | 6 | −3).

So sind die Raumbilder gezeichnet. Eine Pfeilspitze steht immer für einen Vektor, also für eine Verschiebung. Gestrichelt sind Hilfslinien: Lote, Projektionen, Verlängerungen. Eine blasse Fläche ist der gezeichnete Ausschnitt einer Ebene — die Ebene selbst hört dort nicht auf.

Die Probe, die man immer machen sollte

Das Vektorprodukt steht auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht. Also müssen beide Skalarprodukte null sein:

(−3 | 6 | −3) ∘ (1 | 2 | 3) = −3 + 12 − 9 = 0 ✓

(−3 | 6 | −3) ∘ (4 | 5 | 6) = −12 + 30 − 18 = 0 ✓

Das kostet zwanzig Sekunden und findet jeden Vorzeichenfehler. In der Prüfung ist diese Probe die beste Zeitinvestition der ganzen Aufgabe.

3.2 Rechengesetze — eines ist anders als gewohnt

Die drei Rechengesetze

Antikommutativgesetz: b × a = −(a × b). Vertauscht man die Reihenfolge, dreht sich das Ergebnis um. Das ist der große Unterschied zum Skalarprodukt, bei dem die Reihenfolge gleichgültig war.

Gemischtes Assoziativgesetz: (r · a) × b = r · (a × b) = a × (r · b). Ein Zahlenfaktor darf wandern.

Distributivgesetz: a × (b + c) = a × b + a × c. Man darf ausmultiplizieren wie gewohnt.

Zwei Folgerungen und eine Warnung

a × a = 0. Setzt man im Antikommutativgesetz b = a, so steht dort a × a = −(a × a). Der einzige Vektor, der sein eigenes Gegenteil ist, ist der Nullvektor. Diese kleine Folgerung wird in Übung 7 zum entscheidenden Argument.

Die Reihenfolge ist kein Schönheitsfehler. a × b und b × a zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Für einen Normalenvektor ist das gleichgültig — beide stehen senkrecht. Für einen Flächeninhalt auch, denn beide haben denselben Betrag. Aber hingeschrieben werden muss, was gefragt war.

Kein Assoziativgesetz für drei Vektoren. (a × b) × c und a × (b × c) sind im Allgemeinen verschieden. Klammern darf man hier also nicht weglassen — im Kurs kommt dieser Fall aber nicht vor.

3.3 Kollinearität — an einer einzigen Bedingung

Kollinearitätskriterium

a und b kollinear ⇔ a × b = 0

Zwei Vektoren sind genau dann kollinear, wenn ihr Vektorprodukt der Nullvektor ist.

Warum das so ist: Kollineare Vektoren liegen auf einer Geraden. Sie spannen kein Parallelogramm auf, sondern nur eine Strecke — und eine Strecke hat den Flächeninhalt null. Nach 3.4 ist der Betrag des Vektorprodukts aber genau dieser Flächeninhalt.

Der Vorteil gegenüber Lektion 5: Dort hast du Kollinearität über Quotienten geprüft und musstest bei jeder Null im Nenner aufpassen. Hier gibt es diese Sonderfälle nicht. Eine Rechnung, ein Blick: drei Nullen oder nicht.

Zwei Kurzbeispiele

(1 | 1 | 1) × (2 | 2 | 2) = (1·2 − 1·2 | 1·2 − 1·2 | 1·2 − 1·2) = 0 — kollinear, und tatsächlich ist (2|2|2) = 2 · (1|1|1).

(1 | 1 | 1) × (2 | 2 | 3) ergibt (1 | −1 | 0) — nicht der Nullvektor, also nicht kollinear.

Der Nullvektor ist zu jedem Vektor kollinear; sein Vektorprodukt mit irgendetwas ist immer der Nullvektor. Das passt zur Vereinbarung aus Lektion 5.

3.4 Der Betrag — ein Flächeninhalt

Betrag des Vektorprodukts

|a × b| = |a| · |b| · sin φ mit 0° ≤ φ ≤ 180°

Das ist genau die Formel „Grundseite mal Höhe“ für ein Parallelogramm: |a| ist die Grundseite, |b| · sin φ die zugehörige Höhe.

Parallelogramm: A = |a × b| Dreieck: F = 12 · |a × b|

Merkhilfe, Abschnitt 4 Geometrie. Dort stehen die Betragsformel und die Dreiecksformel F = ½ · |AB × AC|. Die Parallelogrammformel steht dort nicht — sie ist einfach das Doppelte davon.

Das Dreieck ist immer die Hälfte des Parallelogramms — die Diagonale zerlegt es in zwei deckungsgleiche Teile. Deshalb genügt eine Formel für beides, man muss nur wissen, ob man halbieren soll.

Man braucht den Winkel nicht

In der Formel steht sin φ, aber man muss φ nie ausrechnen. Man bildet das Vektorprodukt und nimmt seinen Betrag — der Sinus ist darin schon enthalten. Die Formel steht in der Merkhilfe, damit man versteht, warum ein Flächeninhalt herauskommt, nicht damit man mit ihr rechnet.

Zwei Sonderfälle als Kontrolle: Bei φ = 90° ist sin φ = 1, also A = |a| · |b| — das gewohnte Rechteck. Bei φ = 0° ist sin φ = 0, also A = 0 — das ist die Kollinearität aus 3.3, von der Flächenseite gesehen.

3.5 Flächeninhalte im Raum

Das Verfahren in vier Schritten

1. Zwei aufspannende Vektoren bilden. Beim Dreieck ABC sind das AB und AC — beide vom selben Punkt aus, genau wie in Lektion 2.

2. Vektorprodukt bilden. Und die Probe machen: beide Skalarprodukte null.

3. Betrag ausrechnen. Quadrate addieren, Wurzel ziehen. Vereinfache die Wurzel, wenn es geht — √29696 = √(1024 · 29) = 32 · √29 liest sich besser als eine lange Dezimalzahl und rundet nicht.

4. Beim Dreieck halbieren. Beim Parallelogramm nicht. Das ist die Stelle, an der die meisten Punkte verloren gehen.

Und die Einheit nicht vergessen: Sind die Koordinaten Meter, so ist die Fläche in Quadratmetern anzugeben.

3.6 Aufgaben mit einem Parameter

Wie in Lektion 1 ist ein Eintrag durch einen Buchstaben ersetzt, und gefragt sind alle Werte, für die eine Bedingung stimmt. Es gibt wieder genau zwei Typen — und wieder entscheidet der Grad der Gleichung über die Zahl der Lösungen.

Zwei Typen

Typ 1: Kollinearität. Ansatz a(t) × b = 0. Das sind drei Gleichungen, eine je Zeile, und jede ist linear. Es kommt also höchstens ein Wert heraus — aber alle drei Zeilen müssen ihn liefern. Zeilen, die zu 0 = 0 werden, sagen nichts und werden übergangen.

Typ 2: Flächeninhalt. Ansatz |a(t) × b| = A bzw. mit dem Faktor ½ beim Dreieck. Man quadriert, damit die Wurzel verschwindet — dabei entsteht eine quadratische Gleichung, und die hat meist zwei Lösungen.

Dieselbe Unterscheidung wie in Lektion 1: linear ⟹ eine Lösung, quadratisch ⟹ zwei. Nur die Bedingungen heißen jetzt anders.

Wenn die Aufgabe im Sachkontext steht

Dann kann eine der beiden mathematischen Lösungen praktisch unmöglich sein — ein Punkt liegt außerhalb des Dachs, eine Länge wäre negativ. Beide Werte gehören trotzdem in die Rechnung, und der Antwortsatz sagt, welcher davon in der Sache gilt und warum der andere ausscheidet. Wer die zweite Lösung gar nicht erst hinschreibt, hat nicht ausgesondert, sondern übersehen.

4 · Musteraufgaben

Die ersten beiden lösen zusammen das Versprechen des Einstiegs ein: erst der Normalenvektor, dann die Dachfläche. Die dritte ist wieder die Prüfungssorte. Sieh dir jeweils zuerst das Bild an — die Rechnung darunter bestätigt Schritt für Schritt, was dort zu sehen ist.

Musteraufgabe 1 — Der Normalenvektor der Dachfläche

Gezeichnet ist der gekürzte Vektor. Der ungekürzte wäre 32-mal so lang — er würde weit aus dem Bild ragen, ohne etwas anderes zu zeigen. Genau deshalb kürzt man Normalenvektoren.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Die Dachfläche wird von DE = (10 | 0 | −4) (Sparren) und DG = (0 | 16 | 0) (Traufrichtung) aufgespannt. Bestimme mit dem Vektorprodukt einen Vektor, der auf der Dachfläche senkrecht steht, und kürze ihn so weit wie möglich.

1. Erste Zeile zuhalten: Übrig bleiben 0, −4 aus DE und 16, 0 aus DG. Also 0 · 0 − (−4) · 16 = 0 + 64 = 64.

2. Zweite Zeile zuhalten: Hier läuft der Plus-Term von unten nach oben: (−4) · 0 − 10 · 0 = 0.

3. Dritte Zeile zuhalten: 10 · 16 − 0 · 0 = 160.

4. Ergebnis: DE × DG = (64 | 0 | 160).

5. Die Probe: (64|0|160) ∘ DE = 640 + 0 − 640 = 0 ✓ und (64|0|160) ∘ DG = 0 + 0 + 0 = 0 ✓ Beide null — der Vektor steht wirklich senkrecht auf beiden.

6. Kürzen: Alle drei Einträge sind durch 32 teilbar: (64 | 0 | 160) = 32 · (2 | 0 | 5). Ein Normalenvektor darf beliebig gestreckt werden, die Richtung bleibt dieselbe — also nimmt man den kürzesten ganzzahligen.

7. Der Rückblick: (2 | 0 | 5) ist genau der Vektor, der in Lektion 1 in Musteraufgabe 2 einfach in der Aufgabe stand. Damals wurde nur nachgeprüft, dass er senkrecht steht. Jetzt ist er berechnet.

8. Antwortsatz: DE × DG = (64 | 0 | 160) ist ein Normalenvektor der Dachfläche; gekürzt lautet er (2 | 0 | 5). Jedes Vielfache davon leistet dasselbe.

Musteraufgabe 2 — Die Dachfläche, endlich hergeleitet

Der exakte Wert ist 32 · √29 — eine Wurzel, keine Dezimalzahl. Gerundet wird erst am Schluss, und nur für den Antwortsatz. Wer schon √29 ≈ 5,39 einsetzt und weiterrechnet, verliert Genauigkeit ohne Not.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Berechne den Flächeninhalt der Dachfläche DEFG und vergleiche mit dem Wert 172,33 m², der seit Lektion 1 verwendet wird.

1. Das Dach ist ein Parallelogramm. Es wird von DE und DG aufgespannt, und DF = DE + DG schließt es. Also ist sein Flächeninhalt der Betrag des Vektorprodukts — ohne Halbieren.

2. Das Vektorprodukt haben wir schon: DE × DG = (64 | 0 | 160) aus Musteraufgabe 1.

3. Betrag: |DE × DG| = √(64² + 0² + 160²) = √(4096 + 25600) = √29696.

4. Wurzel vereinfachen: 29696 = 1024 · 29, und √1024 = 32. Also |DE × DG| = 32 · √29 ≈ 172,3253.

5. Gegenprobe über die Betragsformel: |DE| = √116 = 2 · √29 und |DG| = 16. Aus Lektion 1 wissen wir DE ∘ DG = 0, die beiden stehen also senkrecht: φ = 90° und sin φ = 1. Damit 2·√29 · 16 · 1 = 32·√29 ✓

6. Warum die einfache Rechnung hier zufällig auch stimmt: Weil φ = 90° ist, kommt man auch mit „Sparrenlänge mal Dachbreite“ zum Ziel. Wäre das Dach schief zugeschnitten, ginge das nicht mehr — das Vektorprodukt dagegen funktioniert immer.

7. Die Hälften: Die Diagonale EG zerlegt das Dach in zwei Dreiecke zu je 16 · √29 ≈ 86,16 m². Zusammen wieder 172,33 m².

8. Antwortsatz: Die Dachfläche misst 32 · √29 ≈ 172,33 m². Der Wert aus den früheren Lektionen stimmt — und ist ab jetzt kein geschenkter mehr.

Musteraufgabe 3 — Zwei Parameteraufgaben

Beide Teile zeigen dasselbe Muster wie in Lektion 1: Die Kollinearitätsbedingung ist linear und hat eine Lösung, die Flächenbedingung ist quadratisch und hat zwei. Neu ist nur, dass hier der Sachkontext eine davon aussortiert — und das gehört in den Antwortsatz, nicht unter den Tisch.

Schritt für Schritt

Aufgabe a): Für welches t sind (2 | t | 6) und (1 | 2 | 3) kollinear?

1. Ansatz: (2 | t | 6) × (1 | 2 | 3) = 0.

2. Vektorprodukt mit dem Parameter: Erste Zeile t · 3 − 6 · 2 = 3t − 12; zweite Zeile 6 · 1 − 2 · 3 = 0; dritte Zeile 2 · 2 − t · 1 = 4 − t. Also (3t − 12 | 0 | 4 − t).

3. Alle drei Zeilen null setzen: 3t − 12 = 0 gibt t = 4. Die zweite Zeile ist ohne Zutun null — sie sagt nichts. Die dritte, 4 − t = 0, gibt ebenfalls t = 4.

4. Warum das kein Zufall ist: Beide Zeilen mussten denselben Wert liefern — sonst gäbe es gar keine Lösung. Widersprechen sich zwei Zeilen, so sind die Vektoren für kein t kollinear. Auch das ist eine vollständige Antwort.

5. Probe: (2 | 4 | 6) = 2 · (1 | 2 | 3) ✓ Der Faktor ist 2.

Aufgabe b): Auf der oberen Dachkante liegt P(0 | t | 12). Für welche t hat das Dreieck DEP den Flächeninhalt 5 · √29 ≈ 26,93 m²?

6. Aufspannende Vektoren: DE = (10 | 0 | −4) und DP = (0 | t | 0). Das Vektorprodukt ist (4t | 0 | 10t).

7. Betrag und Fläche: |(4t | 0 | 10t)| = |t| · √116 = 2 · |t| · √29. Halbieren: F = |t| · √29.

8. Gleichung und Antwortsatz: |t| · √29 = 5 · √29 gibt |t| = 5, also t = 5 oder t = −5. Auf der Dachkante liegt nur t = 5, denn dort läuft t von 0 bis 16; t = −5 gehört zu einem Punkt jenseits der Ecke D. Der gesuchte Punkt ist P(0 | 5 | 12).

5 · Digitale Werkzeuge

„Der Betrag des Vektorprodukts ist ein Flächeninhalt“ — auf Papier ist das eine Behauptung. Hier siehst du sie: Ein Regler öffnet das Parallelogramm, und die angezeigte Fläche wächst genau im selben Takt.

5.1 Explorer: das Parallelogramm öffnet sich

Angesetzt wird an der oberen Dachecke D(0|0|12). Fest ist der Sparren a = (10 | 0 | −4); beweglich ist b(t) = (10 | t | −4) — der Regler ändert nur den mittleren Eintrag. Bei t = 0 sind beide Vektoren gleich, bei t = 16 ist b die Dachdiagonale DF.

Parameter t = 8

Der Regler läuft ganzzahlig von −4 bis 16. Beide Randfälle sind Absicht: bei 0 verschwindet die Fläche, bei 16 ist sie genau die des Dachs.

Parameter t–

b(t)–

a × b–

Fläche des Parallelogramms–

Lage der beiden Vektoren–

Drei Dinge, die du hier sehen sollst

Erstens: Bei t = 0 fällt das Parallelogramm zu einer Strecke zusammen, und die Anzeige zeigt Fläche 0. Das ist die Kollinearität aus 3.3 — kein Sonderfall, sondern der Randfall.

Zweitens: Die Richtung des roten Pfeils ändert sich nie, solange t > 0 ist: Es ist immer ein Vielfaches von (2 | 0 | 5). Kein Wunder — b bleibt ja in der Dachebene, also bleibt das Produkt senkrecht darauf. Bei negativem t klappt der Pfeil nach unten um; das ist das Antikommutativgesetz in Bewegung.

Drittens: Bei t = 16 zeigt die Anzeige 172,33. Das gezeichnete Parallelogramm ist zwar nicht das Dach, sondern eine verscherte Fassung davon — aber es hat denselben Flächeninhalt. Der Grund steht in Übung 7.

5.2 Arbeitsauftrag für GeoGebra 3D

Digitale Werkzeuge — Arbeitsauftrag

GeoGebra kennt das Vektorprodukt als eigenen Befehl. Öffne den 3D-Rechner:

www.geogebra.org/3d

Gib die drei Dachecken ein: D=(0,0,12), E=(10,0,8), G=(0,16,12). Dann a=Vektor(D,E) und b=Vektor(D,G).
Vektorprodukt: n=Kreuzprodukt(a,b). Kommt (64, 0, 160) heraus?
Probe: n a und n b (Skalarprodukt, mit Leerzeichen). Beide null?
Fläche: Länge(n). Vergleiche mit deinen 172,33.
Reihenfolge vertauschen: Kreuzprodukt(b,a). Was ändert sich, was bleibt?
Und die Parameteraufgabe im CAS: Löse(Kreuzprodukt((2,t,6),(1,2,3))=(0,0,0), t).

Kein Internet oder Seite gesperrt? Dann nutze den Explorer oben; für a) und b) reicht er vollständig aus.

Erst schieben, dann erklären

leicht

a) Ablesen. Stelle den Regler auf t = 16 (Knopf „Dachfläche“). Lies a × b und den Flächeninhalt ab.

a × b = Fläche =

b) Beobachten. Schiebe den Regler langsam durch den ganzen Bereich.

Bei t = 0 zeigt die Anzeige
Während t von 0 auf 16 wächst, wächst die Fläche

c) Erklären. Warum zeigt der rote Pfeil für jedes positive t in dieselbe Richtung, obwohl sich b dauernd ändert? Und warum wächst die Fläche gleichmäßig und nicht immer schneller? Schreibe drei bis vier Sätze.

6 · Übungsaufgaben

Sieben Aufgaben, gestaffelt von leicht bis Transfer. Drei Ratschläge: Mach nach jedem Vektorprodukt die Probe mit den beiden Skalarprodukten. Achte in der mittleren Zeile auf die Richtung. Und frag dich bei jeder Flächenaufgabe zuerst, ob halbiert werden muss oder nicht.

Aufgabe 1 — Drei Vektorprodukte

leicht

Berechne jeweils das Vektorprodukt.

a) (1 | 2 | 3) × (4 | 5 | 6) =

b) (2 | 0 | 1) × (0 | 3 | 0) =

c) Berechne (1 | 1 | 1) × (2 | 2 | 2) und entscheide, was das bedeutet.

Aufgabe 2 — Reihenfolge und Probe

leicht

Aus Aufgabe 1 a) ist bekannt: a × b = (−3 | 6 | −3) mit a = (1|2|3) und b = (4|5|6).

a) Gib b × a an, ohne neu zu rechnen.

b) Berechne (a × b) ∘ a.

c) Warum musste bei b) genau dieser Wert herauskommen?

Aufgabe 3 — Flächeninhalt eines Dreiecks

mittel

Gegeben ist das Dreieck mit A(1|0|2), B(3|2|2) und C(1|4|6).

a) Bestimme AB × AC.

b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks auf zwei Nachkommastellen.

c) Wie groß wäre der Flächeninhalt des zugehörigen Parallelogramms?

Aufgabe 4 — Parameter und Kollinearität

mittel

Untersucht werden (2 | t | 6) und (1 | 2 | 3).

a) Berechne das Vektorprodukt zunächst für t = 0.

b) Für welches t sind die beiden kollinear? t =

c) Woran erkennt man Kollinearität am Vektorprodukt?

Aufgabe 5 — Parameter und Flächeninhalt

mittel

Ein Dreieck wird von u = (4 | 0 | 0) und v(t) = (0 | t | 3) aufgespannt. Für welche t hat es den Flächeninhalt 10?

a) Die beiden Lösungen (Reihenfolge egal):

t = und t =

b) Warum sind es zwei?

c) Erkläre in drei bis vier Sätzen, warum die Kollinearitätsbedingung höchstens eine Lösung hat, die Flächenbedingung dagegen zwei — und was die beiden Dreiecke unterscheidet.

Aufgabe 6 — Zwei Behauptungen prüfen

Transfer

Entscheide jeweils, ob die Behauptung für alle Vektoren gilt.

a) „Ist a × b der Nullvektor, so ist a der Nullvektor oder b der Nullvektor.“

b) „Für alle Vektoren gilt a × b = b × a.“

c) Begründe beide Antworten mit einem konkreten Gegenbeispiel. Gib bei b) außerdem an, in welchem Sonderfall die Gleichung doch stimmt.

Aufgabe 7 — Ein Dreieck über die Diagonale

Transfer

Betrachtet wird das Dreieck DEF mit D(0|0|12), E(10|0|8) und F(10|16|8). Es wird also von DE = (10 | 0 | −4) und der Dachdiagonale DF = (10 | 16 | −4) aufgespannt.

a) Bestimme DE × DF.

b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks in m², auf zwei Nachkommastellen.

c) Das Ergebnis von a) ist dasselbe wie DE × DG aus Musteraufgabe 1, obwohl DF und DG verschiedene Vektoren sind. Erkläre das mit dem Distributivgesetz und der Regel a × a = 0 aus 3.2 — und sage, was daraus für den Flächeninhalt des Dreiecks im Vergleich zum ganzen Dach folgt.

7 · Selbstkontrolle

Acht Aufgaben quer durch die Lektion. Rechne jeweils kurz nebenbei; am Ende bekommst du dein Ergebnis und, falls nötig, eine gezielte Empfehlung.

1. Das Ergebnis eines Vektorprodukts ist …

2. Wie lautet die erste Komponente von (1 | 2 | 3) × (4 | 5 | 6)?

Ergebnis =

3. Der Vektor a × b …

4. Was bedeutet es, wenn a × b der Nullvektor ist?

5. Für zwei Vektoren gilt |a × b| = 12. Wie groß ist der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Dreiecks?

Fläche =

6. Wie hängen a × b und b × a zusammen?

7. Wie groß ist die Dachfläche des Pultdachs in m²? Gib sie auf zwei Nachkommastellen an.

Fläche =

8. Für welches t sind (2 | t | 6) und (1 | 2 | 3) kollinear?

t =

Lektion 7 von 8 des Kurses „Vektoren im Raum“

Diese Lektion gehört zum Selbstlernkurs „Vektoren im Raum“. Die Lektionen bauen aufeinander auf:

Punkte im Raum und das Schrägbild
Was ein Vektor ist — und was er nicht ist
Rechnen mit Vektoren: addieren und strecken
Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
Kollinear, komplanar und die Linearkombination
Das Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität
Das Vektorprodukt: der Vektor, der senkrecht steht ← diese Lektion
Das Spatprodukt: Rauminhalt und Komplanarität

Jede Lektion bringt drei vollständig gerechnete Musteraufgaben, einen Arbeitsauftrag am dynamischen Werkzeug, sieben gestufte Übungsaufgaben mit sofortiger Rückmeldung und acht Selbstkontrollfragen.

Lektion 1 ist als kostenlose Leseprobe erhältlich. Alle Lektionen gibt es einzeln; als Gesamtpaket sind sie deutlich günstiger. Du findest sie im Profil von Christoph Mitterer.