Mathematik · Vektoren im Raum

Vektoren im Raum — Lektion 6: Das Skalarprodukt

a ∘ b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃ Zwei Vektoren, eine Zahl

Bis jetzt kam aus zwei Vektoren immer wieder ein Vektor heraus: Summe, Differenz, Vielfaches. Dieses Produkt bricht mit der Gewohnheit — sein Ergebnis ist eine Zahl.

Gerade deshalb kann es etwas, was kein Vektor kann: Es misst. Länge, rechter Winkel, Neigung — alles drei steckt in dieser einen Rechnung.

1 · Einstieg: Wie steil ist das Dach?

Das Pultdach begleitet dich seit Lektion 1. Du kennst seine acht Eckpunkte, du hast Vektoren darauf addiert und geprüft, ob Punkte in seiner Ebene liegen. Eine Frage ist dabei nie gestellt worden — und es ist die erste, die auf jeder Baustelle gestellt wird:

Die Frage des Dachdeckers

„Wie viel Grad hat das Dach?“ Davon hängt fast alles ab: ob die Dachziegel überhaupt zugelassen sind (die meisten brauchen mindestens 22°), wie viel Ertrag die Solarmodule bringen, ob der Schnee liegen bleibt oder abrutscht.

Der Dachdecker legt eine Wasserwaage an und liest ab. Du hast keine Wasserwaage — du hast Koordinaten. Aus ihnen soll derselbe Winkel herauskommen.

Mit dem, was du bisher kennst, geht das nicht. Addition, Subtraktion und das Vielfache eines Vektors liefern immer wieder einen Vektor. Ein Winkel ist aber keine Richtung, sondern eine Zahl. Es fehlt eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht.

Genau das leistet das Skalarprodukt. Und es leistet nicht nur das:

✓Es misst Längen — der Betrag eines Vektors ist die Wurzel aus seinem Skalarprodukt mit sich selbst.
✓Es erkennt den rechten Winkel — an einer einzigen Null.
✓Es liefert jeden Winkel zwischen zwei Vektoren, nicht nur den rechten.

Drei Werkzeuge aus einer Formel, die aus drei Multiplikationen und zwei Additionen besteht. Am Ende dieser Lektion weißt du, wie steil das Dach ist — auf zwei Nachkommastellen und mit Begründung.

2 · Lernziele

Nach dieser Lektion kannst du:

✓das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und erklären, warum sein Ergebnis eine Zahl ist
✓die Rechengesetze anwenden — und sagen, welche Regel gerade nicht gilt
✓den Betrag eines Vektors und den zugehörigen Einheitsvektor bestimmen
✓zwei Vektoren auf Orthogonalität prüfen und das Ergebnis deuten
✓den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen und am Vorzeichen des Skalarprodukts vorab sagen, ob er spitz oder stumpf ist
✓bei einem parameterabhängigen Vektor alle Werte bestimmen, für die er orthogonal zu einem anderen ist oder einen vorgegebenen Betrag hat

3 · Erklärung

3.1 Das Skalarprodukt — zwei Vektoren, eine Zahl

Die Rechenvorschrift ist kurz: Man multipliziert die Einträge zeilenweise und addiert die drei Ergebnisse.

Skalarprodukt im Raum

Für a = (a₁ | a₂ | a₃) und b = (b₁ | b₂ | b₃) heißt

a ∘ b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃

das Skalarprodukt von a und b.

Merkhilfe, Abschnitt 4 Geometrie. Dort steht diese Formel wörtlich, unter der Überschrift „Skalarprodukt im ℝ³“. Schlag sie einmal nach — in der Prüfung liegt die Merkhilfe vor dir.

Das Zeichen und das Ergebnis

Das Zeichen. Die Merkhilfe schreibt einen kleinen Kreis: a ∘ b. Der gewöhnliche Malpunkt · bleibt der Multiplikation mit einer Zahl vorbehalten, also 3 · a. Wir halten uns durchgehend daran, damit man einer Formel ansieht, worum es geht.

Das Ergebnis ist eine Zahl. Das ist der ganze Witz und zugleich die häufigste Fehlerquelle. a ∘ b ist kein Vektor — man kann ihn nicht zeichnen, nicht an einen Punkt ansetzen und nicht zu einem Vektor addieren. Das Wort Skalar ist der altmodische Ausdruck für „Zahl“.

Drei Multiplikationen, zwei Additionen. Wichtig ist die letzte Zeile: Am Ende steht eine einzelne Zahl. Wer als Ergebnis eines Skalarprodukts einen Vektor hinschreibt, hat etwas anderes gerechnet.

So sind die Raumbilder gezeichnet. Eine Pfeilspitze steht immer für einen Vektor, also für eine Verschiebung. Gestrichelt sind Hilfslinien: Lote, Projektionen, Verlängerungen. Eine blasse Fläche ist der gezeichnete Ausschnitt einer Ebene — die Ebene selbst hört dort nicht auf.

3.2 Rechengesetze — und eine Regel, die nicht gilt

Man darf mit dem Skalarprodukt fast so umgehen wie mit einem gewöhnlichen Produkt. Fast.

Die drei Rechengesetze

Kommutativgesetz: a ∘ b = b ∘ a. Die Reihenfolge ist gleichgültig — in jedem Summanden werden ja dieselben beiden Zahlen multipliziert.

Gemischtes Assoziativgesetz: (r · a) ∘ b = r · (a ∘ b) = a ∘ (r · b). Ein Zahlenfaktor darf wandern.

Distributivgesetz: a ∘ (b + c) = a ∘ b + a ∘ c. Man darf ausmultiplizieren wie gewohnt.

Warum das Distributivgesetz das wichtigste der drei ist

Steht ein Vektor auf a und auf b senkrecht, so steht er automatisch auch auf jeder Kombination r · a + s · b senkrecht:

n ∘ (r · a + s · b) = r · (n ∘ a) + s · (n ∘ b) = r · 0 + s · 0 = 0

Zwei geprüfte Zeilen genügen also für unendlich viele Vektoren. Genau davon lebt Musteraufgabe 2 — und der ganze Kurs „Geraden und Ebenen im Raum“.

Zwei Regeln, die es nicht gibt

Kein Assoziativgesetz für drei Vektoren. (a ∘ b) ∘ c ist nicht etwa falsch berechnet — es ist gar nicht hinschreibbar. a ∘ b ist eine Zahl, und zwischen einer Zahl und einem Vektor gibt es kein Skalarprodukt.

Kürzen ist verboten. Aus a ∘ b = a ∘ c folgt nicht b = c. Gegenbeispiel: a = (1 | 0 | 0), b = (2 | 5 | 1), c = (2 | −7 | 9) — beide Produkte sind 2, aber b und c sind völlig verschieden. Der Grund: a ∘ (b − c) = 0 sagt nur, dass b − c senkrecht auf a steht — nicht, dass es der Nullvektor ist.

3.3 Der Betrag — die Länge eines Vektors

Das erste der drei Werkzeuge entsteht, wenn man einen Vektor mit sich selbst multipliziert.

Betrag und Einheitsvektor

|a| = √( a ∘ a ) also |a| = √( a₁² + a₂² + a₃² )

Der Einheitsvektor zu a zeigt in dieselbe Richtung, hat aber die Länge 1:

a₀ = a|a|

Merkhilfe, Abschnitt 4 Geometrie. Beide Formeln stehen dort direkt unter dem Skalarprodukt.

Kurzbeispiel

a = (2 | −3 | 6): a ∘ a = 4 + 9 + 36 = 49, also |a| = √49 = 7.

Einheitsvektor: a₀ = 17 · (2 | −3 | 6). Probe: 4 + 9 + 3649 = 1 ✓

Das Quadrat verschluckt jedes Vorzeichen — deshalb ist ein Betrag nie negativ.

3.4 Orthogonalität — der rechte Winkel an einer Null

Orthogonalitätskriterium

a ⊥ b ⇔ a ∘ b = 0

Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Das steht so in der Merkhilfe, Abschnitt 4 Geometrie.

Warum das so bequem ist: Man muss keinen Winkel ausrechnen. Eine Rechnung, ein Blick auf das Ergebnis, fertig.

Die Null bedeutet nicht, dass etwas null ist

Bei gewöhnlichen Zahlen gilt: Ist ein Produkt null, so ist einer der Faktoren null. Beim Skalarprodukt gilt das nicht. (1 | 0 | 0) und (0 | 1 | 0) haben das Produkt 0, und keiner der beiden ist der Nullvektor — sie stehen einfach senkrecht aufeinander.

Umgekehrt ist der Nullvektor zu jedem Vektor orthogonal, denn sein Skalarprodukt ist immer 0. Das ist Vereinbarung, keine Anschauung: Ein Pfeil der Länge 0 hat keine Richtung, mit der man einen Winkel messen könnte.

3.5 Der Winkel zwischen zwei Vektoren

Das dritte Werkzeug beantwortet die Frage aus dem Einstieg vollständig.

Winkelformel

cos φ = a ∘ b|a| · |b| mit 0° ≤ φ ≤ 180°

Merkhilfe, Abschnitt 4 Geometrie — die vierte Zeile unter dem Skalarprodukt, samt dem Bereich für φ.

Das Verfahren in drei Schritten: Skalarprodukt ausrechnen, beide Beträge ausrechnen, einsetzen und mit cos⁻¹ (Taschenrechner: arccos oder cos^-1) den Winkel bestimmen.

Warum der Bereich bis 180° geht: Zwischen zwei Richtungen gibt es immer zwei Winkel, die sich zu 360° ergänzen. Gemeint ist stets der kleinere — und der ist höchstens 180°.

Das Vorzeichen verrät den Winkel — vor jeder Rechnung

In der Formel sind |a| und |b| immer positiv. Über das Vorzeichen von cos φ entscheidet deshalb allein der Zähler, also das Skalarprodukt.

a ∘ b > 0: cos φ > 0, der Winkel ist spitz — die Vektoren zeigen grob in dieselbe Richtung.

a ∘ b = 0: cos φ = 0, der Winkel ist genau 90°.

a ∘ b < 0: cos φ < 0, der Winkel ist stumpf — sie zeigen grob auseinander.

Das ist eine gute Kontrolle: Wer als Ergebnis 40° erhält, obwohl das Skalarprodukt negativ war, hat sich verrechnet.

Dieselben beiden Vektoren a und b, dreimal verschieden gelegt. Am Vorzeichen des Skalarprodukts erkennst du die Art des Winkels, noch bevor du den Taschenrechner anfasst.

3.6 Aufgaben mit einem Parameter

In der Prüfung ist ein Vektor oft nicht vollständig gegeben: Eine Zahl ist durch einen Buchstaben ersetzt. Gefragt ist dann nicht „wie groß ist das Skalarprodukt“, sondern „für welchen Wert stimmt eine bestimmte Bedingung“. Das ist derselbe Stoff, nur von der anderen Seite gelesen.

Zwei Typen — und woran man sie unterscheidet

Typ 1: Orthogonalität. Ansatz a(t) ∘ b = 0. Weil jeder Eintrag höchstens einmal vorkommt, entsteht eine lineare Gleichung — es gibt genau eine Lösung (oder gar keine, wenn sich t weghebt).

Typ 2: Betrag. Ansatz |a(t)| = k. Man quadriert beide Seiten, damit die Wurzel verschwindet: a(t) ∘ a(t) = k². Weil jeder Eintrag quadriert wird, entsteht eine quadratische Gleichung — meist mit zwei Lösungen.

Der häufigste Fehler ist hier zu Hause: bei Typ 2 nur die positive Lösung anzugeben. Beide gehören zur Antwort, wenn nichts anderes dasteht.

Steht der Parameter in beiden Vektoren?

Dann bleibt die Gleichung trotzdem beherrschbar — sie kann nur einen Grad höher werden. Beispiel: (t | 2 | −3) und (4 | t | 1) liefern 4t + 2t − 3 = 0, also 6t = 3 und t = 0,5.

Vorsicht bei der mittleren Zeile: Dort steht 2 · t, nicht t · t. Wer hier t² hinschreibt, rechnet eine andere Aufgabe.

Der Antwortsatz gehört dazu

Eine Parameteraufgabe ist mit der Zahl noch nicht beantwortet. Verlangt ist ein Satz: „Für t = 0,5 stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.“ Bei zwei Lösungen: „Für t = 4 und für t = −4 hat der Vektor den Betrag 6.“ Und wenn die Aufgabe im Sachkontext steht, gehört die Deutung dazu — was bedeutet der Wert auf dem Dach?

4 · Musteraufgaben

Die erste Aufgabe beantwortet endlich die Frage des Dachdeckers. Die zweite bereitet die Geraden und Ebenen vor, ohne dass du es merkst. Die dritte ist die Sorte, die in der Prüfung sicher drankommt. Sieh dir jeweils zuerst das Bild an — die Rechnung darunter bestätigt Schritt für Schritt, was dort zu sehen ist.

Musteraufgabe 1 — Der Neigungswinkel des Pultdachs

Der Sparren und die Waagrechte spannen ein rechtwinkliges Dreieck auf. Das Bild ist ein Seitenriss der x₁x₃-Ebene, kein Schrägbild: Der Winkel liegt vollständig in dieser Ebene und erscheint deshalb in wahrer Größe. Du kannst ihn hier tatsächlich nachmessen.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Das Pultdach reicht von der oberen Kante D(0|0|12) bis zur unteren Kante E(10|0|8). Berechne den Winkel α, unter dem der Sparren gegen die Waagrechte geneigt ist, und entscheide, ob Dachziegel mit einer Mindestneigung von 22° verlegt werden dürfen.

1. Was ist der Sparren? Der Verbindungsvektor DE = E − D mit den Einträgen 10, 0 und −4. Er fällt auf 10 Meter Tiefe um 4 Meter.

2. Was ist die Waagrechte? Derselbe Weg ohne Gefälle, also (1 | 0 | 0). Der Betrag spielt keine Rolle — im Nenner steht er ohnehin — deshalb nimmt man den einfachsten Vektor dieser Richtung.

3. Skalarprodukt: DE ∘ (1|0|0) = 10 · 1 + 0 · 0 + (−4) · 0 = 10. Positiv — der Winkel wird also spitz.

4. Beträge: |DE| = √(100 + 0 + 16) = √116 ≈ 10,7703 und |(1|0|0)| = 1.

5. Einsetzen: cos α = 10√116 · 1 ≈ 0,9285.

6. Winkel: α = cos⁻¹(0,9285) ≈ 21,80°. Rechne mit dem ungerundeten Wert weiter, nicht mit 0,93 — sonst weicht das Ergebnis schon in der ersten Nachkommastelle ab.

7. Gegenprobe: Das Dreieck aus 10 m waagrecht und 4 m senkrecht ist rechtwinklig. Also tan α = 410 = 0,4 und α ≈ 21,80°. Zwei ganz verschiedene Wege, dasselbe Ergebnis.

8. Antwortsatz: Das Dach ist um etwa 21,80° geneigt. Das liegt unter der geforderten Mindestneigung von 22° — diese Ziegel dürfen hier nicht verlegt werden. Zwei Zehntelgrad entscheiden; genau deshalb wird gerechnet und nicht geschätzt.

Musteraufgabe 2 — Ein Vektor, der auf der ganzen Dachfläche senkrecht steht

Der Begriff Normalenvektor wird dich ab jetzt begleiten. Hier ist er noch geschenkt — er stand einfach in der Aufgabe. In Lektion 2 lernst du, ihn selbst zu berechnen, und im Kurs „Geraden und Ebenen im Raum“ ist er das Werkzeug, mit dem Ebenengleichungen aufgestellt werden.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Die Dachfläche wird von DE (Sparren) und DG (Traufrichtung, Einträge 0, 16, 0) aufgespannt. Zeige, dass n = (2 | 0 | 5) auf beiden senkrecht steht, und begründe, dass er damit auf der ganzen Fläche senkrecht steht. Berechne außerdem den Winkel zwischen n und der Senkrechten (0 | 0 | 1).

1. Erste Prüfung: n ∘ DE = 2 · 10 + 0 · 0 + 5 · (−4) = 20 + 0 − 20 = 0 ✓

2. Zweite Prüfung: n ∘ DG = 2 · 0 + 0 · 16 + 5 · 0 = 0 ✓ Also steht n auf beiden Richtungen senkrecht.

3. Von zwei auf alle — mit dem Distributivgesetz: Jeder Vektor der Dachebene lässt sich als r · DE + s · DG schreiben (das ist die Komplanarität aus der letzten Lektion). Dann gilt n ∘ (r · DE + s · DG) = r · (n ∘ DE) + s · (n ∘ DG) = r · 0 + s · 0 = 0.

4. Ergebnis: n steht auf jedem Vektor der Dachebene senkrecht. Zwei Rechnungen haben unendlich viele erledigt.

5. Der zweite Teil — Winkel zur Senkrechten: n ∘ (0|0|1) = 0 + 0 + 5 = 5, |n| = √(4 + 0 + 25) = √29, |(0|0|1)| = 1.

6. Einsetzen: cos φ = 5√29 ≈ 0,9285, also φ ≈ 21,80°.

7. Das ist kein Zufall: Kippt man eine Ebene um α aus der Waagrechten, so kippt ihre Senkrechte um genau dasselbe α aus der Lotrechten. Der Neigungswinkel aus Musteraufgabe 1 taucht hier unverändert wieder auf — eine schöne Kontrolle für beide Rechnungen.

8. Antwortsatz: n = (2 | 0 | 5) steht senkrecht auf der Dachfläche; ein solcher Vektor heißt Normalenvektor der Fläche. Er schließt mit der Lotrechten den Neigungswinkel 21,80° ein.

Musteraufgabe 3 — Zwei Parameteraufgaben

Der Haken am Sparren gehört zu a): Er markiert den rechten Winkel, den die Rechnung ergeben hat. Die beiden goldenen Pfeile gehören zu b) — gleich lang, verschieden gerichtet. Das ist der Unterschied zwischen einer linearen und einer quadratischen Bedingung, als Bild.

Schritt für Schritt

Aufgabe a): Von der oberen Dachecke D aus wird eine Stütze angesetzt; ihre Richtung ist s(t) = (t | 8 | −5). Unter Last darf sie nicht abscheren, sie muss also rechtwinklig zum Sparren DE stehen. Für welches t ist das der Fall?

1. Ansatz: s(t) ∘ DE = 0.

2. Ausrechnen: t · 10 + 8 · 0 + (−5) · (−4) = 10t + 0 + 20.

3. Gleichung lösen: 10t + 20 = 0, also 10t = −20 und t = −2. Eine lineare Gleichung — genau eine Lösung.

4. Probe: (−2 | 8 | −5) ∘ (10 | 0 | −4) = −20 + 0 + 20 = 0 ✓

5. Antwortsatz zu a): Für t = −2 steht die Stütze rechtwinklig zum Sparren. Ihre Richtung ist dann (−2 | 8 | −5); das negative Vorzeichen sagt, dass sie nach hinten aus dem Gebäude herausläuft.

Aufgabe b): Ein Spannseil hat die Richtung w(t) = (t | 6 | 3) und soll genau 7 m lang sein. Bestimme alle möglichen Werte von t.

6. Ansatz und Quadrieren: Aus |w(t)| = 7 wird t² + 6² + 3² = 7², also t² + 36 + 9 = 49.

7. Lösen: t² = 4, also t = 2 oder t = −2. Eine quadratische Gleichung — zwei Lösungen, und beide gehören zur Antwort.

8. Antwortsatz zu b): Für t = 2 und für t = −2 ist das Seil 7 m lang. Die beiden Richtungen sind verschieden — die eine läuft nach vorne, die andere nach hinten — aber gleich lang. Wer nur t = 2 angibt, hat die halbe Aufgabe gelöst.

5 · Digitale Werkzeuge

„Am Vorzeichen erkennt man die Art des Winkels“ — das ist der Satz aus 3.5, und auf Papier muss man ihn glauben. Hier kannst du ihn sehen: Ein Regler verschiebt den zweiten Vektor, und Skalarprodukt und Winkel wandern mit. Genau einmal wird das Produkt null.

5.1 Explorer: ein Vektor mit Parameter

Angesetzt wird an der oberen Dachecke D(0|0|12). Fest ist der Sparren a = DE mit den Einträgen 10, 0, −4. Beweglich ist b(t) = (t | 8 | −5) — der Regler ändert nur den ersten Eintrag. Angezeigt werden das Skalarprodukt, beide Beträge und der Winkel.

Parameter t = −2

Der Regler läuft in Halben, damit t = −2 — die Stellung mit dem rechten Winkel — genau getroffen wird.

Parameter t–

Skalarprodukt–

Betrag von b–

Winkel φ–

Art des Winkels–

Drei Dinge, die du hier sehen sollst

Erstens: Skalarprodukt und Winkel hängen zusammen wie eine Wippe. Schiebst du den Regler nach rechts, wächst das Skalarprodukt gleichmäßig — und der Winkel wird kleiner. Beides zugleich, ohne Ausnahme.

Zweitens: Der Vorzeichenwechsel und der rechte Winkel fallen auf dieselbe Stellung. Links davon ist das Produkt negativ und der Winkel stumpf, rechts davon positiv und spitz. Der rechte Winkel ist die Grenze zwischen beidem, kein Sonderfall.

Drittens: Es gibt genau eine solche Stellung. Das ist keine Beobachtung, sondern Rechnung: 10t + 20 = 0 ist eine lineare Gleichung, und die hat genau eine Lösung. Beim Betrag wäre es anders — dort stünde ein Quadrat, und es gäbe zwei.

5.2 Arbeitsauftrag für GeoGebra 3D

Digitale Werkzeuge — Arbeitsauftrag

GeoGebra rechnet Skalarprodukte und Winkel direkt. Öffne den 3D-Rechner:

www.geogebra.org/3d

Gib die beiden Dachecken ein: D=(0,0,12) und E=(10,0,8), dann den Sparren als a=Vektor(D,E).
Lege die Waagrechte dazu: h=Vektor((1,0,0)).
Skalarprodukt: a h (ein Leerzeichen dazwischen). Vergleiche mit deinen 10 aus Musteraufgabe 1.
Winkel: Winkel(a,h). GeoGebra zeigt ihn im Gradmaß an — kommt 21.8° heraus?
Jetzt der Normalenvektor: n=Vektor((2,0,5)). Prüfe n a und n Vektor((0,16,0)). Beide null?
Und die Parameteraufgabe im CAS: Löse(10t+20=0, t). Danach Löse(t^2+36+9=49, t) — wie viele Lösungen gibt jede der beiden aus, und warum?

Kein Internet oder Seite gesperrt? Dann nutze den Explorer oben; für a) und b) reicht er vollständig aus.

Erst schieben, dann erklären

leicht

a) Ablesen. Stelle den Regler so, dass die Anzeige „rechtwinklig“ zeigt (Knopf „rechter Winkel“). Lies ab:

t = φ = Spitze von b:

b) Beobachten. Schiebe den Regler langsam von links nach rechts durch den ganzen Bereich.

Das Skalarprodukt
Der Winkel φ

c) Erklären. Warum kann man am Vorzeichen des Skalarprodukts die Art des Winkels ablesen, ohne den Winkel auszurechnen? Und warum gibt es genau eine Reglerstellung mit einem rechten Winkel und nicht zwei? Schreibe drei bis vier Sätze.

6 · Übungsaufgaben

Sieben Aufgaben, gestaffelt von leicht bis Transfer. Zwei Ratschläge vorweg: Rechne Winkel immer mit dem ungerundeten Zwischenwert weiter — gerundete Kosinuswerte kosten leicht ein halbes Grad. Und prüfe bei Betragsaufgaben, ob du wirklich alle Lösungen aufgeschrieben hast.

Aufgabe 1 — Vier Skalarprodukte

leicht

Berechne jeweils das Skalarprodukt.

	erster Vektor	zweiter Vektor
a)	(2 \| 3 \| 1)	(4 \| −1 \| 5)
b)	(1 \| 2 \| 3)	(2 \| −4 \| 2)
c)	(3 \| 0 \| −1)	(1 \| 5 \| 3)
d)	(5 \| 1 \| 2)	(1 \| 3 \| −2)

Und die Folgerung: Welche Paare stehen senkrecht aufeinander?

Aufgabe 2 — Beträge und ein Einheitsvektor

leicht

Gegeben sind a = (2 | −3 | 6) und b = (1 | 2 | 2).

a) Bestimme die beiden Beträge.

|a| = |b| =

b) Berechne a ∘ b.

c) Welcher der vier Vektoren ist der Einheitsvektor b₀ (auf zwei Nachkommastellen)?

Aufgabe 3 — Ein Winkel in drei Schritten

mittel

Berechne den Winkel zwischen a = (1 | 2 | 2) und b = (2 | −1 | 2).

a) Skalarprodukt: b) |a| = |b| =

c) Winkel φ in Grad, auf eine Nachkommastelle:

d) Ohne den Taschenrechner: Was war schon nach a) klar?

Aufgabe 4 — Parameter und rechter Winkel

mittel

Für welchen Wert von t stehen (t | 2 | −3) und (4 | t | 1) senkrecht aufeinander? Achtung: t steht in beiden Vektoren.

a) Wie lautet die Gleichung, die aus dem Ansatz entsteht? Schreibe die Zahl vor t und das absolute Glied auf.

· t + = 0

b) t =

c) Wie viele Lösungen hat eine Orthogonalitätsbedingung mit einem Parameter im Normalfall?

Aufgabe 5 — Parameter und Betrag

mittel

Für welche Werte von t hat (t | 4 | −2) den Betrag 6?

a) Die beiden Lösungen (Reihenfolge egal):

t = und t =

b) Woher kommen die zwei Lösungen?

c) Erkläre in drei bis vier Sätzen, warum bei der Orthogonalitätsbedingung genau eine Lösung entsteht, bei der Betragsbedingung aber zwei — und was die zweite Lösung geometrisch bedeutet.

Aufgabe 6 — Zwei Behauptungen prüfen

Transfer

Entscheide jeweils, ob die Behauptung für alle Vektoren gilt.

a) „Ist a ∘ b = 0, so ist a der Nullvektor oder b der Nullvektor.“

b) „Aus a ∘ b = a ∘ c und a ≠ 0 folgt b = c.“

c) Begründe beide Antworten mit je einem konkreten Gegenbeispiel und erkläre, welche Eigenschaft gewöhnlicher Zahlen dem Skalarprodukt hier fehlt.

Aufgabe 7 — Ein Winkel auf dem Dach

Transfer

Ein Solarmodul wird diagonal über die Dachfläche gelegt, von der oberen Ecke D(0|0|12) zur unteren Ecke F(10|16|8). Die untere Dachkante läuft von D nach G(0|16|12) und hat die Richtung DG = (0 | 16 | 0).

a) Bestimme DF.

b) Berechne den Winkel zwischen DF und DG, auf eine Nachkommastelle. φ =

c) Ein Mitschüler sagt: „Das ist doch der Neigungswinkel des Dachs.“ Erkläre in drei bis vier Sätzen, warum das nicht stimmt, wo der Unterschied zu Musteraufgabe 1 liegt und woran man in der Aufgabenstellung erkennt, welcher Winkel gemeint ist.

7 · Selbstkontrolle

Acht Aufgaben quer durch die Lektion. Rechne jeweils kurz nebenbei; am Ende bekommst du dein Ergebnis und, falls nötig, eine gezielte Empfehlung.

1. Das Ergebnis eines Skalarprodukts ist …

2. Berechne (3 | −2 | 4) ∘ (1 | 5 | 2).

Ergebnis =

3. Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn …

4. Wie lang ist (6 | −2 | 3)?

Betrag =

5. Wie berechnet man den Kosinus des Winkels zwischen a und b?

6. Für welches t steht (t | 1 | 2) senkrecht auf (3 | −6 | 0)?

t =

7. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist negativ. Was folgt daraus?

8. Wie groß ist der Neigungswinkel des Pultdachs in Grad? Gib ihn auf eine Nachkommastelle an.

α =

Lektion 6 von 8 des Kurses „Vektoren im Raum“

Diese Lektion gehört zum Selbstlernkurs „Vektoren im Raum“. Die Lektionen bauen aufeinander auf:

Punkte im Raum und das Schrägbild
Was ein Vektor ist — und was er nicht ist
Rechnen mit Vektoren: addieren und strecken
Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
Kollinear, komplanar und die Linearkombination
Das Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität ← diese Lektion
Das Vektorprodukt: der Vektor, der senkrecht steht
Das Spatprodukt: Rauminhalt und Komplanarität

Jede Lektion bringt drei vollständig gerechnete Musteraufgaben, einen Arbeitsauftrag am dynamischen Werkzeug, sieben gestufte Übungsaufgaben mit sofortiger Rückmeldung und acht Selbstkontrollfragen.

Lektion 1 ist als kostenlose Leseprobe erhältlich. Alle Lektionen gibt es einzeln; als Gesamtpaket sind sie deutlich günstiger. Du findest sie im Profil von Christoph Mitterer.

	erster Vektor	zweiter Vektor
a)	(2 \| 3 \| 1)	(4 \| −1 \| 5)
b)	(1 \| 2 \| 3)	(2 \| −4 \| 2)
c)	(3 \| 0 \| −1)	(1 \| 5 \| 3)
d)	(5 \| 1 \| 2)	(1 \| 3 \| −2)