Mathematik · Vektoren im Raum

Vektoren im Raum — Lektion 5: Kollinear und komplanar

r · a + s · b = c Eine Frage, ein Gleichungssystem

Zwei Fragen schließen diesen Teil des Kurses ab: Zeigen zwei Vektoren in dieselbe Richtung? Und liegen drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene?

Beide Fragen sehen geometrisch aus, sind aber Rechenaufgaben — und zwar genau die aus Lektion 4. Wer ein Gleichungssystem lösen kann, kann sie beantworten.

1 · Einstieg: Die Frage des Monteurs

Die Solarmodule liegen fertig auf dem Pultdach. Jetzt kommt der Monteur und stellt zwei Fragen, die auf der Baustelle jeden Tag vorkommen:

Zwei Fragen, zwei Begriffe

1. „Liegen diese drei Befestigungspunkte auf einer Linie?“ Wenn ja, kann eine einzige durchgehende Schiene alle drei tragen. Wenn nein, braucht es zwei.

2. „Liegen diese vier Punkte in einer Ebene?“ Nur dann liegt das Modul plan auf. Sonst verspannt es sich beim Anziehen der Schrauben — und Glas verzeiht das nicht.

Die erste Frage führt auf den Begriff kollinear, die zweite auf komplanar. Beide klingen nach Geometrie, und beide sind es auch — aber beantwortet werden sie mit einer Rechnung:

✓kollinear heißt: Ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen. Das prüft man Zeile für Zeile.
✓komplanar heißt: Ein Vektor lässt sich aus den beiden anderen zusammensetzen. Das prüft man mit einem linearen Gleichungssystem — dem Werkzeug aus Lektion 4.

Damit schließt sich der Kreis: Lektion 3 hat gezeigt, wie man Vektoren addiert und streckt, Lektion 4, wie man Gleichungssysteme löst. In dieser Lektion kommt beides zusammen.

2 · Lernziele

Nach dieser Lektion kannst du:

✓rechnerisch prüfen, ob zwei Vektoren kollinear sind, und den Faktor angeben
✓entscheiden, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen
✓eine Linearkombination aufstellen und als lineares Gleichungssystem schreiben
✓prüfen, ob drei Vektoren komplanar sind, und das Ergebnis geometrisch deuten
✓entscheiden, ob vier Punkte in einer Ebene liegen
✓erklären, warum bei diesen Fragen immer ein überbestimmtes System entsteht und was seine Widerspruchszeile bedeutet

3 · Erklärung

3.1 Die Linearkombination

In Lektion 3 wurden Vektoren addiert und mit Zahlen multipliziert. Setzt man beides zusammen, entsteht der Begriff, um den sich diese Lektion dreht.

Linearkombination

Ein Ausdruck der Form r · a + s · b heißt Linearkombination von a und b. Die Zahlen r und s sind dabei beliebig — auch null oder negativ.

Genauso mit drei Vektoren: r · a + s · b + t · c.

Die entscheidende Wendung: Bisher waren r und s vorgegeben und das Ergebnis gesucht. Ab jetzt ist es umgekehrt — das Ergebnis ist bekannt, und gesucht sind die Zahlen. Aus einer Rechenaufgabe wird eine Gleichung.

3.2 Kollinear: einer ist ein Vielfaches des anderen

Der einfachste Fall ist eine Linearkombination aus nur einem Vektor.

Kollinear

Zwei Vektoren a und b heißen kollinear, wenn es eine Zahl r gibt mit b = r · a.

Geometrisch: Ihre Repräsentanten liegen auf parallelen Geraden — vom Ursprung aus gezeichnet sogar auf derselben Geraden.

So prüft man es: Man bildet die Quotienten der einander entsprechenden Einträge. Stimmen alle drei überein, sind die Vektoren kollinear; der gemeinsame Wert ist r.

Alle Vielfachen von a liegen auf einer Geraden durch den Ursprung — das ist aus 3.3 der letzten Lektion schon bekannt. Neu ist die Blickrichtung: Jetzt wird nicht gestreckt, sondern geprüft, ob ein gegebener Vektor auf dieser Geraden liegt.

So sind die Raumbilder gezeichnet. Eine Pfeilspitze steht immer für einen Vektor, also für eine Verschiebung. Gestrichelt sind Hilfslinien: Lote, Projektionen, Verlängerungen. Eine blasse Fläche ist der gezeichnete Ausschnitt einer Ebene — die Ebene selbst hört dort nicht auf.

Drei Stellen, an denen man aufpassen muss

Nullen im Nenner. Steht bei beiden Vektoren an derselben Stelle eine 0, so ist diese Zeile immer erfüllt — sie sagt nichts und wird übergangen. Steht die Null aber nur bei einem der beiden, so ist die Sache entschieden: dann sind sie nicht kollinear.

Zwei von drei genügen nicht. Es müssen alle Quotienten übereinstimmen. Aufgabe 5 zeigt, wie leicht man sich hier täuscht.

Der Nullvektor. Er ist zu jedem Vektor kollinear, denn 0 = 0 · a. Das ist kein Trick, sondern folgt direkt aus der Definition.

3.3 Drei Punkte auf einer Geraden

Aus dem Begriff wird ein Verfahren, sobald Punkte ins Spiel kommen.

Punkte auf einer Geraden

Drei Punkte A, B und C liegen genau dann auf einer Geraden, wenn AB und AC kollinear sind.

Warum das reicht: Beide Vektoren beginnen im selben Punkt A. Sind sie Vielfache voneinander, so führen sie in dieselbe Richtung — und C liegt auf der Geraden durch A und B.

Wichtig ist der gemeinsame Startpunkt. AB und BC zu vergleichen geht auch, aber AB und CD zu vergleichen sagt über die Lage der Punkte nichts.

3.4 Komplanar: drei Vektoren in einer Ebene

Die zweite Frage des Monteurs braucht einen Vektor mehr — und damit ein richtiges Gleichungssystem.

Komplanar

Drei Vektoren a, b und c heißen komplanar, wenn sich einer von ihnen als Linearkombination der beiden anderen schreiben lässt: c = r · a + s · b.

Geometrisch: Ihre Repräsentanten liegen — an denselben Punkt angesetzt — in einer gemeinsamen Ebene.

Voraussetzung: a und b dürfen nicht selbst kollinear sein. Sonst spannen sie keine Ebene auf, sondern nur eine Gerade, und die Frage wird sinnlos.

Die Dachfläche ist die Ebene, die u und v aufspannen. Jede Wahl von λ und μ landet auf ihr — auch mit gebrochenen oder negativen Zahlen. Was einen Meter darüber liegt, ist mit keiner Wahl zu erreichen. Genau diesen Unterschied misst die Rechnung.

Wie man es ausrechnet

Der Ansatz r · a + s · b = c ist eine Vektorgleichung — und die zerfällt in drei gewöhnliche Gleichungen, eine je Zeile. Gesucht sind aber nur zwei Zahlen.

Das ist ein überbestimmtes System, genau die Sorte aus Lektion 4. Man löst zwei Zeilen und prüft mit der dritten:

Die Probe geht auf ⟹ die Vektoren sind komplanar. Es entsteht ein Widerspruch ⟹ sie sind es nicht.

Die dritte Zeile ist also keine Formsache. Sie ist die eigentliche Antwort.

3.5 Vier Punkte in einer Ebene

Punkte in einer Ebene

Vier Punkte A, B, C und D liegen genau dann in einer Ebene, wenn AB, AC und AD komplanar sind.

Auch hier gilt: alle drei Vektoren vom selben Punkt aus. Welchen man wählt, ist gleichgültig — man kann auch von B aus rechnen und kommt zum selben Ergebnis.

Drei Punkte liegen übrigens immer in einer Ebene, sofern sie nicht auf einer Geraden liegen. Interessant wird die Frage erst ab dem vierten.

Das Verfahren in fünf Schritten

1. Verbindungsvektoren bilden. Von einem gemeinsamen Punkt aus, etwa AB, AC und AD.

2. Ansatz aufschreiben. r · AB + s · AC = AD. Erst hinschreiben, dann rechnen — das verhindert, dass man mitten in der Rechnung vergisst, was gesucht war.

3. In drei Gleichungen zerlegen. Eine je Zeile. Am übersichtlichsten als erweiterte Koeffizientenmatrix mit den Spalten r und s.

4. Zwei Zeilen lösen. Meist geht es ohne Gauß-Verfahren, weil in solchen Systemen viele Nullen stehen.

5. Mit der dritten Zeile prüfen. Geht sie auf, lautet die Antwort „komplanar“; entsteht ein Widerspruch, „nicht komplanar“. Der Antwortsatz gehört dazu — die Zahlen r und s allein sind keine Antwort.

Der häufigste Fehler in diesem Abschnitt

Nach zwei Zeilen aufhören. Wer r und s gefunden hat, hat das Gefühl, fertig zu sein. Ist er aber nicht: Zwei Zeilen lassen sich fast immer lösen, ganz gleich, wie die Vektoren liegen. Erst die dritte entscheidet.

Anders gesagt: Die ersten beiden Zeilen finden den Kandidaten, die dritte prüft ihn. Ohne Probe hat man geraten.

4 · Musteraufgaben

Alle drei Aufgaben spielen auf dem Schuldach. Die erste beantwortet die Schienenfrage, die zweite und dritte die Modulfrage. Sieh dir jeweils zuerst das Bild an — die Rechnung darunter bestätigt Zeile für Zeile, was dort schon zu sehen ist.

Musteraufgabe 1 — Liegen drei Befestigungspunkte auf einer Linie?

Beachte, dass PQ und PR in Wirklichkeit übereinanderliegen — sie zeigen ja in dieselbe Richtung. Damit beide sichtbar sind, ist der kurze Pfeil um wenige Pixel versetzt gezeichnet. Genau dieses Übereinanderliegen ist die Kollinearität.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Auf dem Dach sind die Punkte P(0|4|12), Q(5|4|10) und R(10|4|8) markiert. Prüfe, ob eine durchgehende Schiene alle drei tragen kann. Prüfe außerdem, ob der Punkt S(5|9|10) ebenfalls auf dieser Linie liegt.

1. Vom selben Punkt aus: Wir bilden PQ und PR — beide starten in P.

2. Verbindungsvektoren (Spitze minus Fuß): PQ = Q − P hat die Einträge 5, 0 und −2. PR = R − P hat 10, 0 und −4.

3. Quotienten bilden: 10 : 5 = 2 in der ersten Zeile. In der zweiten steht bei beiden eine 0 — diese Zeile sagt nichts und wird übergangen. In der dritten: −4 : −2 = 2.

4. Ergebnis zu P, Q, R: Alle brauchbaren Quotienten sind 2, also PR = 2 · PQ. Die Vektoren sind kollinear, die drei Punkte liegen auf einer Geraden.

5. Jetzt S: PS = S − P hat die Einträge 5, 5 und −2.

6. Quotienten mit PQ: Erste Zeile 5 : 5 = 1. Zweite Zeile: 5 : 0 — hier steht die Null nur bei PQ, bei PS dagegen eine 5. Damit ist die Sache entschieden.

7. Ergebnis zu S: PS ist kein Vielfaches von PQ. S liegt nicht auf dieser Geraden — anschaulich: Es ist um 5 Meter in Breitenrichtung versetzt.

8. Antwortsatz: P, Q und R liegen auf einer Geraden; eine durchgehende Schiene genügt für diese drei. S liegt daneben und braucht eine eigene Befestigung.

Musteraufgabe 2 — Ein Vektor aus zwei anderen zusammensetzen

Die beiden gestrichelten Pfeile sind 2 · u und 2 · v — der Weg, den die Rechnung beschreibt. Das goldene Parallelogramm ist der Teil der Dachfläche, den die beiden aufspannen; w ist seine Diagonale. Rechts steht dasselbe als erweiterte Koeffizientenmatrix: drei Zeilen, zwei Spalten — überbestimmt.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Die Dachfläche wird von u mit den Einträgen 5, 0, −2 (halber Sparren) und v mit 0, 4, 0 (Breitenrichtung) aufgespannt. Prüfe, ob w mit den Einträgen 10, 8, −4 eine Linearkombination von u und v ist.

1. Voraussetzung prüfen: Sind u und v selbst kollinear? Nein — bei u steht in der ersten Zeile eine 5, bei v eine 0. Sie spannen also wirklich eine Ebene auf.

2. Ansatz: r · u + s · v = w.

3. In drei Gleichungen zerlegen: 5r + 0s = 10, 0r + 4s = 8, −2r + 0s = −4.

4. Erste Zeile: 5r = 10, also r = 2.

5. Zweite Zeile: 4s = 8, also s = 2.

6. Dritte Zeile — die Probe: −2 · 2 = −4 ✓ Die Zeile ist erfüllt, ohne dass wir sie zum Ausrechnen gebraucht hätten. Genau darum geht es.

7. Deutung: w = 2 · u + 2 · v. Der Vektor w führt von der oberen Ecke D quer über die halbe Dachfläche — er verlässt das Dach nirgends.

8. Antwortsatz: w ist eine Linearkombination von u und v; die drei Vektoren sind komplanar. Ein Modul mit dieser Diagonale liegt plan auf dem Dach.

Musteraufgabe 3 — Liegen vier Punkte in einer Ebene?

Das goldene Parallelogramm ist der Ausschnitt der Dachebene, den die vier Punkte aufspannen. E liegt sichtbar darunter — und die Rechnung sagt dasselbe, nur in einer einzigen Zeile: −2 = −3 ist falsch.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Ein Modul soll an den vier Punkten A(0|0|12), B(5|0|10), C(0|8|12) und D(5|8|10) befestigt werden. Liegen sie in einer Ebene? Untersuche außerdem den Punkt E(5|8|9), der einen Meter tiefer sitzt.

1. Verbindungsvektoren von A aus: AB hat 5, 0, −2; AC hat 0, 8, 0; AD hat 5, 8, −2.

2. Voraussetzung: AB und AC sind nicht kollinear — die erste Zeile zeigt es sofort.

3. Ansatz und Zerlegung: r · AB + s · AC = AD ergibt 5r = 5, 8s = 8 und −2r = −2.

4. Lösen und prüfen: Die erste Zeile gibt r = 1, die zweite s = 1. Die dritte fordert −2 · 1 = −2 ✓

5. Ergebnis: AD = AB + AC. Die vier Punkte liegen in einer Ebene — sie bilden sogar ein Parallelogramm, denn beide Faktoren sind 1.

6. Jetzt E: AE hat die Einträge 5, 8 und −3. Der Ansatz r · AB + s · AC = AE gibt in der ersten Zeile wieder r = 1, in der zweiten s = 1.

7. Die dritte Zeile scheitert: Sie fordert −2 · 1 = −3, also −2 = −3. Das ist falsch — ein Widerspruch. Beachte: Die ersten beiden Zeilen waren lösbar. Wer hier aufgehört hätte, wäre zum falschen Schluss gekommen.

8. Antwortsatz: A, B, C und D liegen in einer Ebene — das Modul liegt plan auf. E liegt einen Meter darunter und gehört nicht dazu; wollte man dort befestigen, müsste das Modul sich verwinden.

5 · Digitale Werkzeuge

„Die Spitze überstreicht eine Ebene“ — das ist der Satz, auf den alles hinausläuft, und auf Papier bleibt er eine Behauptung. Hier kannst du ihn nicht widerlegen: Der Punkt kommt von der Dachfläche nicht herunter, egal wie du die Regler stellst.

5.1 Explorer: λ und μ an zwei Richtungen

Angesetzt wird an der oberen Dachecke D(0|0|12). Der erste Regler streckt u (den halben Sparren), der zweite v (ein Viertel der Dachbreite). Gezeichnet wird der Punkt D + λ · u + μ · v. Zwei Marken liegen fest: P auf dem Dach und Q einen Meter darüber.

Faktor λ = 1

Faktor μ = 2

Die Regler laufen in Halben, damit λ = 1 und μ = 2 — die Stellung für P — genau getroffen werden.

Faktor λ–

Faktor μ–

Punkt–

Probe: liegt auf dem Dach?–

Marken–

Drei Dinge, die du hier sehen sollst

Erstens: Die Zeile „liegt auf dem Dach?“ antwortet immer mit ja. Auch bei negativen Faktoren, auch wenn der Punkt seitlich über die Dachkante hinausläuft. Die Ebene hört an der Kante nicht auf — das Dach ist nur der Ausschnitt, den man bauen kann.

Zweitens: Alle vier Dachecken lassen sich treffen: D mit (0 | 0), E mit (2 | 0), G mit (0 | 4) und F mit (2 | 4). Zwei Richtungen genügen also, um die ganze Fläche zu beschreiben.

Drittens: Den roten Punkt Q erreichst du nie. Probier es ruhig aus — es gibt kein Paar (λ | μ), das ihn trifft. Genau das rechnet man nach, wenn man ein Gleichungssystem aufstellt und einen Widerspruch findet.

5.2 Arbeitsauftrag für GeoGebra 3D

Digitale Werkzeuge — Arbeitsauftrag

GeoGebra kann beides: rechnen und zeigen. Öffne den 3D-Rechner:

www.geogebra.org/3d

Gib die vier Punkte aus Musteraufgabe 3 ein: A=(0,0,12), B=(5,0,10), C=(0,8,12), D=(5,8,10).
Lass die Ebene durch die ersten drei zeichnen: Ebene(A,B,C). Liegt D sichtbar darauf?
Jetzt der Test ohne Bild: Tippe im CAS Löse({5r=5, 8s=8, -2r=-2},{r,s}). Vergleiche mit deiner Rechnung.
Und derselbe Test für E(5|8|9): Löse({5r=5, 8s=8, -2r=-3},{r,s}). Was gibt GeoGebra aus?
Die Frage, die das Werkzeug nicht beantwortet: Das Bild zeigt E offensichtlich unter der Ebene. Warum genügt das trotzdem nicht als Begründung? Aufgabe c) unten.

Kein Internet oder Seite gesperrt? Dann nutze den Explorer oben; für a) und b) reicht er vollständig aus.

Erst schieben, dann erklären

leicht

a) Ablesen. Stelle im Explorer die Ecke F ein (Knopf „Ecke F“). Welche Faktoren stehen dann in der Anzeige, und welche Koordinaten hat der Punkt?

λ = μ = Punkt:

b) Beobachten. Schiebe beide Regler durch den ganzen Bereich, auch ins Negative.

Die Zeile „liegt auf dem Dach?“ zeigt
Den roten Punkt Q trifft man

c) Erklären. Im Bild sieht man sofort, dass E unter der Ebene liegt. Trotzdem gilt das in einer Prüfung nicht als Begründung. Erkläre, warum ein Bild hier nicht genügt — und was die Rechnung leistet, was das Bild nicht leisten kann. Schreibe drei bis vier Sätze.

6 · Übungsaufgaben

Sieben Aufgaben, gestaffelt von leicht bis Transfer. Zwei Ratschläge: Prüfe bei der Kollinearität immer alle drei Zeilen, auch wenn die ersten beiden schon passen. Und höre bei der Komplanarität nicht auf, wenn du r und s hast — die dritte Zeile ist die Antwort, nicht die Rechnung davor.

Aufgabe 1 — Kollinear oder nicht?

leicht

Entscheide bei jedem Paar, ob die beiden Vektoren kollinear sind.

erster Vektor	zweiter Vektor	kollinear?
(3 \| −6 \| 9)	(−2 \| 4 \| −6)
(2 \| 4 \| 6)	(3 \| 6 \| 8)
(1 \| 0 \| 2)	(4 \| 0 \| 8)
(0 \| 5 \| 0)	(0 \| −3 \| 0)

Und eine Zahl: Beim ersten Paar gilt (3 | −6 | 9) = r · (−2 | 4 | −6). Wie groß ist r? r =

Aufgabe 2 — Liegen die Punkte auf einer Geraden?

leicht

Gegeben sind A(1|2|3), B(3|5|7) und C(7|11|15).

a) Bestimme AB.

b) Es gilt AC = r · AB. Wie groß ist r? r =

c) Was folgt daraus?

Aufgabe 3 — Als Linearkombination schreiben

mittel

Gegeben sind a = (1 | 2 | 0), b = (0 | 1 | 3) und c = (2 | 7 | 9). Bestimme r und s mit r · a + s · b = c.

r = s =

Und die Folgerung: Was gilt damit für a, b und c?

Aufgabe 4 — Dieselben Vektoren, ein anderes Ziel

mittel

Wieder a = (1 | 2 | 0) und b = (0 | 1 | 3), diesmal aber d = (2 | 7 | 10). Untersuche, ob d eine Linearkombination von a und b ist.

a) Welche Werte liefern die ersten beiden Zeilen?

r = s =

b) Was ergibt die dritte Zeile mit diesen Werten — und was steht dort gefordert?

Sie ergibt , gefordert sind .

c) Was folgt daraus?

Aufgabe 5 — Fehlersuche in einer Schülerlösung

mittel

Aufgabe war: „Sind a = (2 | 4 | 6) und b = (3 | 6 | 8) kollinear?“ Ein Schüler schreibt:

Die Schülerlösung

„3 : 2 = 1,5 und 6 : 4 = 1,5. Beide Quotienten sind gleich, also sind die Vektoren kollinear mit r = 1,5.“

a) Welchen dritten Eintrag müsste b haben, damit die Vektoren wirklich kollinear wären?

b) Was hat der Schüler falsch gemacht?

c) Erkläre in drei bis vier Sätzen, warum zwei übereinstimmende Quotienten nicht genügen, was das geometrisch bedeutet und welche Kontrolle den Fehler sofort aufdeckt.

Aufgabe 6 — Zwei Behauptungen prüfen

Transfer

Entscheide jeweils, ob die Behauptung für alle Vektoren gilt.

a) „Sind zwei Vektoren kollinear, so sind sie zusammen mit jedem dritten Vektor komplanar.“

b) „Hat das Gleichungssystem r · a + s · b = c keine Lösung, so sind a, b und c komplanar.“

c) Begründe beide Antworten. Bei der wahren Behauptung mit einem Argument, das für alle Fälle gilt; bei der falschen mit einem konkreten Gegenbeispiel — die Vektoren aus Aufgabe 4 eignen sich.

Aufgabe 7 — Ein Befestigungspunkt auf dem Dach

Transfer

Die Dachfläche wird von AB = (10 | 0 | −4) (ganzer Sparren) und AC = (0 | 16 | 0) (ganze Breite) aufgespannt, angesetzt in A(0|0|12). Ein Monteur will bei P(5|12|10) bohren.

a) Bestimme r und s mit r · AB + s · AC = AP. Schreibe Dezimalzahlen.

r = s =

b) Was bedeutet das für den Monteur?

c) Der Monteur schlägt stattdessen Q(5|12|11) vor. Rechne nach und erkläre in drei bis vier Sätzen, an welcher Zeile es scheitert, was das im Sachkontext bedeutet und warum die beiden Faktoren aus a) hier nichts nützen.

7 · Selbstkontrolle

Acht Aufgaben quer durch die Lektion. Rechne jeweils kurz nebenbei; am Ende bekommst du dein Ergebnis und, falls nötig, eine gezielte Empfehlung.

1. Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn …

2. Es gilt (6 | −9 | 3) = r · (2 | −3 | 1). Wie groß ist r?

r =

3. Wann liegen drei Punkte A, B, C auf einer Geraden?

4. Es gilt (4 | 11 | 9) = 4 · (1 | 2 | 0) + s · (0 | 1 | 3). Wie groß ist s?

s =

5. Drei Vektoren heißen komplanar, wenn …

6. In wie viele gewöhnliche Gleichungen zerfällt der Ansatz r · a + s · b = c im Raum?

Gleichungen

7. Beim Prüfen auf Komplanarität entsteht in der dritten Zeile ein Widerspruch. Was folgt daraus?

8. Im Explorer wird P(5|8|10) bei λ = 1 getroffen. Welchen Wert hat dann μ?

μ =

Lektion 5 von 8 des Kurses „Vektoren im Raum“

Diese Lektion gehört zum Selbstlernkurs „Vektoren im Raum“. Die Lektionen bauen aufeinander auf:

Punkte im Raum und das Schrägbild
Was ein Vektor ist — und was er nicht ist
Rechnen mit Vektoren: addieren und strecken
Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
Kollinear, komplanar und die Linearkombination ← diese Lektion
Das Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität
Das Vektorprodukt: der Vektor, der senkrecht steht
Das Spatprodukt: Rauminhalt und Komplanarität

Jede Lektion bringt drei vollständig gerechnete Musteraufgaben, einen Arbeitsauftrag am dynamischen Werkzeug, sieben gestufte Übungsaufgaben mit sofortiger Rückmeldung und acht Selbstkontrollfragen.

Lektion 1 ist als kostenlose Leseprobe erhältlich. Alle Lektionen gibt es einzeln; als Gesamtpaket sind sie deutlich günstiger. Du findest sie im Profil von Christoph Mitterer.