Mathematik · Vektoren im Raum

Vektoren im Raum — Lektion 4: Lineare Gleichungssysteme

Z2 − 2·Z1 Eine Zeile nach der anderen leerräumen

Drei Gleichungen, drei Unbekannte — und ein Verfahren, das immer zum Ziel führt: das Gauß-Verfahren. Es räumt das System von unten her leer, bis in der letzten Zeile nur noch eine Unbekannte steht.

Der zweite Teil ist wichtiger als der erste: Am Ende steht nicht immer eine Lösung. Manchmal sind es unendlich viele, manchmal gar keine — und man sieht der letzten Zeile an, welcher Fall vorliegt.

1 · Einstieg: Was passt auf das Dach?

Für die Anlage auf dem Schuldach bietet der Hersteller drei Modultypen an. Bei der Herstellung verbraucht jedes Modul Silizium, Glas und Aluminium — je nach Typ unterschiedlich viel. Der Hersteller hat noch Restbestände und möchte sie restlos verarbeiten.

Verbrauch je Modul (ME)	Typ A	Typ B	Typ C	Vorrat
Silizium	1	1	1	60
Glas	2	1	3	110
Aluminium	3	2	1	125

Nennt man die gesuchten Stückzahlen x, y und z, so steht in jeder Zeile der Tabelle eine Gleichung:

Drei Gleichungen mit drei Unbekannten

1x + 1y + 1z = 60 (Silizium)

2x + 1y + 3z = 110 (Glas)

3x + 2y + 1z = 125 (Aluminium)

Einsetzen und Umstellen wie in der Mittelstufe führt hier zwar zum Ziel, wird aber schnell unübersichtlich. Das Gauß-Verfahren macht daraus ein festes Schema, das sich auch bei vier oder fünf Unbekannten nicht ändert — und das man einem Rechner überlassen kann, sobald man es verstanden hat.

Und noch etwas kommt dazu: Nicht jedes solche System hat eine Lösung. Ändert man oben eine einzige Zahl, kann es plötzlich unendlich viele Möglichkeiten geben — oder gar keine. Beides ist im Sachkontext eine sinnvolle Antwort, und beides erkennt man am Ende des Verfahrens auf einen Blick.

2 · Lernziele

Nach dieser Lektion kannst du:

✓ein lineares Gleichungssystem als erweiterte Koeffizientenmatrix schreiben und wieder zurückübersetzen
✓die drei erlaubten Zeilenumformungen nennen und begründen, warum sie die Lösungsmenge nicht verändern
✓ein System mit dem Gauß-Verfahren auf Stufenform bringen und durch Rückwärtseinsetzen lösen
✓an der letzten Zeile erkennen, ob es genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt
✓bei unendlich vielen Lösungen einen Parameter einführen und die Lösungsmenge angeben
✓über- und unterbestimmte Systeme einordnen und Lösungen im Sachkontext deuten

3 · Erklärung

3.1 Was ein lineares Gleichungssystem ist

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus Gleichungen, in denen die Unbekannten nur mit Zahlen multipliziert und addiert werden. Kein Quadrat, keine Wurzel, kein Produkt zweier Unbekannter — deshalb „linear“.

Lösung und Lösungsmenge

Eine Lösung ist ein Zahlentripel (x | y | z), das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Eine Zahl, die nur in zwei von drei Gleichungen passt, nützt nichts.

Die Lösungsmenge fasst alle solchen Tripel zusammen. Sie kann genau ein Element haben, unendlich viele — oder leer sein.

Die Probe ist deshalb keine Zierde: Setze deine Lösung am Ende in jede Ausgangsgleichung ein, nicht nur in die erste.

3.2 Die erweiterte Koeffizientenmatrix

Beim Rechnen schreibt man immer wieder dieselben Buchstaben und Pluszeichen ab. Die erweiterte Koeffizientenmatrix lässt sie weg: Übrig bleiben die Zahlen, in derselben Anordnung wie im System.

Links das System, rechts dieselbe Information in Kurzschrift. Der gestrichelte Strich trennt die Koeffizienten von der rechten Seite — deshalb heißt die Matrix erweitert. Wichtig ist die Ordnung: Fehlt eine Unbekannte in einer Gleichung, steht dort eine 0, keine Lücke.

So sind die Raumbilder gezeichnet. Eine Pfeilspitze steht immer für einen Vektor, also für eine Verschiebung. Gestrichelt sind Hilfslinien: Lote, Projektionen, Verlängerungen. Eine blasse Fläche ist der gezeichnete Ausschnitt einer Ebene — die Ebene selbst hört dort nicht auf.

Zwei Stolperstellen beim Aufschreiben

Erstens: sortieren, bevor man abschreibt. Steht da 3z + 5 = 2x, so gehört das erst in die Form −2x + 0y + 3z = −5 — alle Unbekannten links, in derselben Reihenfolge wie in den anderen Zeilen, die Zahl allein nach rechts.

Zweitens: das Vorzeichen gehört zur Zahl. Aus x − 4y wird der Eintrag −4, nicht 4. Ein einziges verlorenes Minuszeichen macht die ganze Rechnung falsch, ohne dass irgendwo ein Widerspruch auffällt.

3.3 Die drei erlaubten Zeilenumformungen

Das Ziel ist eine einfachere Matrix mit derselben Lösungsmenge. Genau drei Umformungen leisten das:

Was man mit Zeilen tun darf

1. Zwei Zeilen vertauschen. Die Reihenfolge der Gleichungen ist ohnehin willkürlich.

2. Eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren. Aus 2x = 6 wird x = 3 — dieselbe Aussage.

3. Zu einer Zeile das Vielfache einer anderen addieren. Das ist der eigentliche Motor des Verfahrens: Damit lassen sich Einträge gezielt zu null machen.

Warum die Lösungsmenge dabei erhalten bleibt: Jede der drei Umformungen lässt sich rückgängig machen. Was vorher alle Gleichungen erfüllt hat, erfüllt sie auch nachher — und umgekehrt.

Was nicht erlaubt ist

Mit null multiplizieren. Aus einer Zeile würde 0 = 0 — eine wahre, aber leere Aussage. Information ginge verloren, und das lässt sich nicht rückgängig machen.

Spalten vertauschen. Zeilen sind Gleichungen, Spalten sind Unbekannte. Wer Spalten tauscht, vertauscht in Wahrheit die Namen von x und y und liest am Ende falsch ab.

Die rechte Seite vergessen. Eine Umformung betrifft die ganze Zeile, über den Trennstrich hinweg. Aufgabe 5 zeigt genau diesen Fehler.

3.4 Das Gauß-Verfahren

Das Verfahren hat zwei Hälften. Erst wird die Matrix von links unten her leergeräumt, dann wird von unten nach oben eingesetzt.

Das Rezept

Vorwärts — Stufenform herstellen:

1. Mit der ersten Zeile alle Einträge unter der ersten Eins zu null machen: Z2 − 2·Z1, Z3 − 3·Z1 und so fort.

2. Dasselbe eine Spalte weiter rechts mit der zweiten Zeile: Z3 − k·Z2.

3. Fertig ist die Stufenform — unterhalb der Treppe stehen nur noch Nullen.

Rückwärts — einsetzen: Die letzte Zeile enthält nur noch eine Unbekannte. Deren Wert setzt man in die Zeile darüber ein, dann in die darüber.

Ein Tipp, der Brüche spart: Steht in der Ecke, mit der du gerade arbeitest, eine unbequeme Zahl, so vertausche zuerst zwei Zeilen. Das ist Umformung 1 und kostet nichts.

3.5 Die drei Fälle

Am Ende des Vorwärtsteils steht die letzte Zeile — und an ihr allein liest man ab, wie viele Lösungen es gibt.

Die letzte Zeile entscheidet

Fall 1 — genau eine Lösung. In der letzten Zeile steht noch eine Unbekannte, etwa −3z = −45. Man kann sie ausrechnen und rückwärts einsetzen.

Fall 2 — keine Lösung. Die letzte Zeile lautet 0 = c mit c ≠ 0, etwa 0 = 10. Das ist für keine Belegung wahr. Die Lösungsmenge ist leer.

Fall 3 — unendlich viele Lösungen. Die letzte Zeile lautet 0 = 0. Sie ist immer wahr und sagt nichts aus. Eine Unbekannte bleibt frei; man setzt sie gleich einem Parameter t und drückt die anderen durch t aus.

Mit zwei Unbekannten kann man die drei Fälle sehen: Jede Gleichung ist eine Gerade, jede Lösung ein gemeinsamer Punkt. Bei drei Unbekannten sind es Ebenen statt Geraden — das Bild wird unübersichtlich, die Rechnung bleibt aber genau dieselbe. Deshalb lohnt es sich, sich die drei Bilder zu merken.

Wie man die Lösungsmenge im dritten Fall aufschreibt

1. Freie Unbekannte benennen. Sie steht in der Spalte, in der keine Stufe beginnt. Setze z = t.

2. Von unten nach oben einsetzen. Aus der vorletzten Zeile folgt y als Term in t, aus der ersten dann x.

3. Als Tripel schreiben: (50 − 2t | 10 + t | t) mit t aus den reellen Zahlen. Für jedes t ergibt sich eine Lösung — deshalb unendlich viele.

4. Probe mit einem Wert. Setze etwa t = 0 ein und prüfe das Ergebnis in allen Ausgangsgleichungen. Stimmt es dort, stimmt die ganze Schar.

3.6 Über- und unterbestimmte Systeme

Die Zahl der Gleichungen muss nicht mit der Zahl der Unbekannten übereinstimmen.

Mehr oder weniger Gleichungen als Unbekannte

Überbestimmt heißt: mehr Gleichungen als Unbekannte. Meist gibt es dann keine Lösung — aber nicht immer. Passen die zusätzlichen Gleichungen zufällig, bleibt die Lösung erhalten. Nachrechnen muss man trotzdem.

Unterbestimmt heißt: weniger Gleichungen als Unbekannte. Dann kann es nie genau eine Lösung geben — entweder keine oder unendlich viele. Anschaulich: Zwei Bedingungen können drei Zahlen nicht festnageln.

Das Verfahren ändert sich in beiden Fällen nicht. Man räumt genauso von links unten her leer und liest am Ende dieselben drei Fälle ab.

Der häufigste Trugschluss

„Drei Gleichungen und drei Unbekannte — also gibt es genau eine Lösung.“ Das ist falsch. Musteraufgabe 2 und Musteraufgabe 3 haben beide drei Gleichungen und drei Unbekannte; die eine hat unendlich viele Lösungen, die andere keine.

Der Grund: Eine der drei Gleichungen kann eine Folge der beiden anderen sein und damit nichts Neues sagen. Ob das so ist, sieht man dem System vorher nicht an — man sieht es erst an der Nullzeile.

4 · Musteraufgaben

Alle drei Aufgaben spielen an derselben Tabelle vom Anfang — und unterscheiden sich nur in der letzten Zeile. Genau darum geht es: Man sieht einem System nicht an, welcher Fall vorliegt. Sieh dir jeweils zuerst das Bild an; die Rechnung darunter geht Schritt für Schritt denselben Weg.

Musteraufgabe 1 — Genau eine Lösung

Drei Matrizen, zwei Umformungen. Beachte, dass sich die erste Zeile nie ändert — sie ist das Werkzeug, mit dem die anderen bearbeitet werden. Die hervorgehobene letzte Zeile ist der Startpunkt für das Rückwärtseinsetzen.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Der Vorrat beträgt 60 ME Silizium, 110 ME Glas und 125 ME Aluminium. Bestimme die Stückzahlen x, y, z der drei Modultypen so, dass alles restlos verbraucht wird.

1. System aufstellen: x + y + z = 60, 2x + y + 3z = 110, 3x + 2y + z = 125.

2. Als Matrix schreiben: Die Koeffizienten stehen spaltenweise für x, y, z, rechts der Vorrat. Die erste Zeile besteht nur aus Einsen — jedes Modul braucht genau eine ME Silizium, sie zählt also einfach die Module.

3. Erste Spalte leerräumen: Z2 − 2·Z1 ergibt [0 | −1 | 1 | −10], Z3 − 3·Z1 ergibt [0 | −1 | −2 | −55]. Rechne die rechte Seite mit: 110 − 2·60 = −10 und 125 − 3·60 = −55.

4. Zweite Spalte leerräumen: Z3 − Z2 ergibt [0 | 0 | −3 | −45]. Damit ist die Stufenform erreicht.

5. Rückwärts, Schritt 1: Die letzte Zeile heißt −3z = −45, also z = 15.

6. Rückwärts, Schritt 2: Die zweite Zeile heißt −y + z = −10. Mit z = 15 wird daraus −y + 15 = −10, also y = 25.

7. Rückwärts, Schritt 3 und Probe: Die erste Zeile gibt x + 25 + 15 = 60, also x = 20. Probe in Zeile 2: 2·20 + 25 + 3·15 = 40 + 25 + 45 = 110 ✓ und in Zeile 3: 3·20 + 2·25 + 15 = 60 + 50 + 15 = 125 ✓

8. Antwortsatz: Es werden 20 Module vom Typ A, 25 vom Typ B und 15 vom Typ C hergestellt — zusammen 60 Stück. Der Vorrat wird dabei restlos verbraucht.

Musteraufgabe 2 — Unendlich viele Lösungen

Die Nullzeile ist kein Rechenfehler, sondern eine Information: Eine der drei Bedingungen war überflüssig. Der Zahlenstrahl unten zeigt, was davon im Sachkontext übrig bleibt — die Mathematik liefert eine Gerade, die Wirklichkeit 26 Punkte darauf.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Der Hersteller ändert Typ C: Statt 1 ME Aluminium braucht er nun 4 ME. Der Vorrat beträgt jetzt 60, 110 und 170 ME. Bestimme die Lösungsmenge und gib an, welche Lösungen im Sachkontext sinnvoll sind.

1. Neues System: x + y + z = 60, 2x + y + 3z = 110, 3x + 2y + 4z = 170.

2. Dieselben Umformungen: Z2 − 2·Z1 ergibt [0 | −1 | 1 | −10], Z3 − 3·Z1 ergibt [0 | −1 | 1 | −10] — dieselbe Zeile.

3. Die Nullzeile: Z3 − Z2 ergibt [0 | 0 | 0 | 0]. Ausgeschrieben: 0 = 0. Das ist wahr, sagt aber nichts — es sind also nur zwei echte Gleichungen für drei Unbekannte.

4. Parameter einführen: Für z gibt es keine Stufe mehr, also ist z frei: z = t.

5. Rückwärts einsetzen: Zeile 2 heißt −y + t = −10, also y = t + 10. Zeile 1 heißt x + (t + 10) + t = 60, also x = 50 − 2t.

6. Lösungsmenge: alle Tripel (50 − 2t | 10 + t | t) mit reellem t. Probe mit t = 0: (50 | 10 | 0) erfüllt alle drei Gleichungen ✓

7. Deutung im Sachkontext: Stückzahlen sind ganze Zahlen und dürfen nicht negativ sein. x = 50 − 2t ≥ 0 verlangt t ≤ 25, und z = t ≥ 0 verlangt t ≥ 0. Es bleiben die ganzzahligen t von 0 bis 25.

8. Antwortsatz: Rechnerisch gibt es unendlich viele Lösungen. Im Betrieb bleiben davon 26 übrig — von (50 | 10 | 0) bis (0 | 35 | 25). Der Hersteller hat also Spielraum und kann nach anderen Kriterien entscheiden, etwa nach dem Preis.

Musteraufgabe 3 — Keine Lösung

Dieselben Umformungen, dieselbe linke Seite — nur rechts steht am Ende 10 statt 0. Präge dir den Unterschied ein: Eine Nullzeile mit Null rechts bedeutet unendlich viele Lösungen, eine Nullzeile ohne Null rechts bedeutet keine.

Schritt für Schritt

Aufgabe: Wie Musteraufgabe 2, aber der Aluminiumvorrat beträgt 180 ME statt 170. Untersuche, ob sich alles restlos verbrauchen lässt.

1. System: x + y + z = 60, 2x + y + 3z = 110, 3x + 2y + 4z = 180. Nur die letzte Zahl hat sich geändert.

2. Erste Spalte: Z2 − 2·Z1 ergibt [0 | −1 | 1 | −10]. Z3 − 3·Z1 ergibt [0 | −1 | 1 | 0] — links dasselbe wie eben, rechts steht jetzt 0 statt −10.

3. Zweite Spalte: Z3 − Z2 ergibt [0 | 0 | 0 | 10].

4. Die Zeile lesen: Ausgeschrieben heißt sie 0·x + 0·y + 0·z = 10, also 0 = 10. Die linke Seite ist null, egal welche Zahlen man einsetzt. Die Gleichung ist niemals erfüllt.

5. Schluss: Es gibt kein Tripel, das alle drei Gleichungen erfüllt. Die Lösungsmenge ist die leere Menge.

6. Warum das passiert: Die dritte Gleichung ist links die Summe der ersten beiden, rechts aber nicht: 60 + 110 = 170, gefordert sind 180. Die drei Bedingungen widersprechen sich.

7. Probe der Deutung: Nimm irgendein Zahlenpaar, das die ersten beiden Gleichungen erfüllt, etwa (50 | 10 | 0). In der dritten Gleichung ergibt das 150 + 20 + 0 = 170 — und nicht 180. Zehn Einheiten fehlen immer.

8. Antwortsatz: Mit 180 ME Aluminium lässt sich der Vorrat nicht restlos verbrauchen; das System ist unlösbar. Praktisch heißt das: Zehn Mengeneinheiten Aluminium bleiben in jedem Fall übrig.

5 · Digitale Werkzeuge

Die drei Fälle aus 3.5 lassen sich behaupten — oder ausprobieren. Mit zwei Unbekannten ist jede Gleichung eine Gerade, und man kann die zweite Gerade so lange verschieben und kippen, bis alle drei Fälle einmal aufgetreten sind.

5.1 Explorer: zwei Geraden, ein Gleichungssystem

Die erste Gleichung x + y = 4 liegt fest (blau). Die zweite lautet m · x + y = c — die beiden Regler stellen m und c ein. Achte dabei weniger auf das Bild als auf die Zeile „nach Z1 − Z2“ in der Anzeige: Sie ist genau die letzte Zeile der Stufenform.

Koeffizient m = 3

rechte Seite c = 6

Parallel wird es genau dann, wenn m = 1 ist — dann haben beide Geraden dieselbe Steigung.

zweite Gleichung–

nach Z1 − Z2–

Fall–

Lösungsmenge–

Lage der Geraden–

Drei Dinge, die du hier sehen sollst

Erstens: Solange m ≠ 1 ist, steht in der Zeile „nach Z1 − Z2“ eine echte Gleichung für x — und es gibt genau einen Schnittpunkt. Der Wert von c verschiebt ihn, ändert aber nichts am Fall.

Zweitens: Stelle m = 1 ein und lass c laufen. Der Faktor vor x wird null, und übrig bleibt 0 = 4 − c. Für c ≠ 4 ist das falsch — die Geraden sind parallel, es gibt keine Lösung.

Drittens: Nur bei c = 4 wird daraus 0 = 0. Die zweite Gerade liegt jetzt genau auf der ersten; jeder Punkt der Geraden ist eine Lösung. Ein Regler entscheidet über den Fall, der andere nur über die Lage — genau so verhalten sich auch die 3×3-Systeme aus Abschnitt 4.

5.2 Arbeitsauftrag für GeoGebra

Digitale Werkzeuge — Arbeitsauftrag

Lineare Gleichungssysteme löst jedes CAS auf Knopfdruck. Öffne den GeoGebra-Rechner und wechsle links auf CAS:

www.geogebra.org/cas

Tippe Musteraufgabe 1 ein: Löse({x+y+z=60, 2x+y+3z=110, 3x+2y+z=125}, {x,y,z}). Vergleiche mit deiner Rechnung.
Jetzt Musteraufgabe 2 — ändere in der dritten Gleichung z zu 4z und die rechte Seite auf 170. Was gibt der Rechner statt Zahlen aus?
Und Musteraufgabe 3: rechte Seite auf 180. Die Antwort ist kurz. Was bedeutet sie?
Zurück zum Explorer: Tippe Löse({x+y=4, 1x+y=4}, {x,y}) und vergleiche mit der Reglerstellung m = 1, c = 4.
Und die Frage, die das Werkzeug nicht beantwortet: Bei Musteraufgabe 2 nennt GeoGebra unendlich viele Lösungen. Wie viele davon kann der Hersteller wirklich bauen? Aufgabe c) unten.

Kein Internet oder Seite gesperrt? Dann nutze den Explorer oben; für a) und b) reicht er vollständig aus.

Erst schieben, dann erklären

leicht

a) Ablesen. Stelle im Explorer m = 0 und c = 2 ein (Knopf „flacher Schnitt“). Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt, und bei welchem m werden die Geraden parallel?

x = y = parallel bei m =

b) Beobachten. Stelle m = 1 ein und schiebe c durch.

Bei m = 1 und c = 4 zeigt die Anzeige
Die Zeile „nach Z1 − Z2“ lautet dann

c) Erklären. GeoGebra antwortet bei Musteraufgabe 3 mit einer leeren geschweiften Klammer und bei Musteraufgabe 2 mit einem Term, in dem ein Buchstabe stehen bleibt. Erkläre, was diese beiden Antworten bedeuten — und warum der Rechner die eigentlich interessante Frage des Herstellers („wie viele Möglichkeiten habe ich?“) trotzdem nicht beantwortet. Schreibe drei bis vier Sätze.

6 · Übungsaufgaben

Sieben Aufgaben, gestaffelt von leicht bis Transfer. Drei Ratschläge: Schreibe die Umformung, die du gerade machst, immer neben die Zeile — sonst findest du einen Fehler später nicht mehr. Rechne die rechte Seite jedes Mal mit. Und mache am Ende die Probe in allen Ausgangsgleichungen, nicht nur in der ersten.

Aufgabe 1 — Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte

leicht

Löse die beiden Systeme. Beide haben genau eine Lösung, und beide gehen ganzzahlig auf.

a) x + 2y = 11 und 3x − y = 5: x = y =

b) 5x − 2y = 4 und x + 3y = 11: x = y =

c) Wie viele Lösungen hätte b), wenn die zweite Gleichung 10x − 4y = 8 lauten würde?

Aufgabe 2 — Rückwärts einsetzen

leicht

Ein System liegt bereits in Stufenform vor:

Die Stufenform

1x + 2y − 1z = 4

0x + 1y + 3z = 11

0x + 0y + 2z = 6

a) Bestimme die Lösung, indem du von unten nach oben einsetzt.

x = y = z =

b) Welcher der drei Fälle liegt vor?

Aufgabe 3 — Ein 3×3-System mit Gauß

mittel

Löse mit dem Gauß-Verfahren: x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2.

Tipp: Nach dem ersten Schritt steht in Zeile 2 eine −3 und in Zeile 3 eine 1. Vertausche die beiden Zeilen — dann bleibt die Rechnung bruchfrei.

x = y = z =

Aufgabe 4 — Den Fall an der letzten Zeile erkennen

mittel

Drei Systeme wurden bereits auf Stufenform gebracht. Ihre letzten Zeilen lauten:

letzte Zeile	Zahl der Lösungen
0x + 0y + 3z = 6
0x + 0y + 0z = 5
0x + 0y + 0z = 0

Und eine Nachfrage: In welchem der drei Fälle führt man einen Parameter t ein?

Aufgabe 5 — Fehlersuche in einer Schülerlösung

mittel

Aufgabe war: „Löse x + y + z = 6, 2x + y + 3z = 13, 3x + 2y + z = 13.“ Ein Schüler schreibt:

Die Schülerlösung

„Z2 − 2·Z1: Aus 2 1 3 wird 0 −1 1. Also steht dort jetzt [0 | −1 | 1 | 13].“

„Z3 − 3·Z1: Aus 3 2 1 wird 0 −1 −2. Also [0 | −1 | −2 | 13].“

a) Bestimme die richtige Lösung des Systems.

x = y = z =

b) Was genau hat der Schüler falsch gemacht?

c) Erkläre in drei bis vier Sätzen, warum gerade dieser Fehler so leicht passiert, was er mit der Lösungsmenge anrichtet und mit welcher Kontrolle man ihn zuverlässig findet.

Aufgabe 6 — Mehr Gleichungen als Unbekannte

Transfer

Gegeben sind drei Gleichungen mit nur zwei Unbekannten: x + y = 30, 2x + 3y = 80, x + 2y = 50.

a) Löse die ersten beiden Gleichungen und prüfe das Ergebnis in der dritten.

x = y =

b) Ein Mitschüler behauptet: „Ein System mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten kann genau eine Lösung haben.“ Stimmt das?

c) Begründe beide Antworten. Erkläre bei a), warum ein überbestimmtes System überhaupt lösbar sein kann, und was passieren würde, wenn rechts in der dritten Gleichung 55 statt 50 stünde. Begründe bei b) mit der Stufenform, nicht mit einem Beispiel.

Aufgabe 7 — Ein zweiter Hersteller

Transfer

Ein anderer Hersteller nennt nur zwei Bedingungen. Wieder brauchen alle drei Typen je 1 ME Silizium; beim Glas sind es 1, 2 und 4 ME. Vorrat: 40 ME Silizium und 100 ME Glas.

Das System

x + y + z = 40 (Silizium)

x + 2y + 4z = 100 (Glas)

a) Setze z = t und rechne die beiden anderen aus. Welche Stückzahlen ergeben sich für t = 15?

x = y =

b) Wie klein darf t höchstens werden, ohne dass eine Stückzahl negativ wird? t =

c) Wie viele ganzzahlige Lösungen sind im Sachkontext sinnvoll?

d) Erkläre, warum dieses System gar keine eindeutige Lösung haben kann — und was der Hersteller nun tun muss, um sich zu entscheiden.

7 · Selbstkontrolle

Acht Aufgaben quer durch die Lektion. Rechne jeweils kurz nebenbei; am Ende bekommst du dein Ergebnis und, falls nötig, eine gezielte Empfehlung.

1. Was steht in einer erweiterten Koeffizientenmatrix zusätzlich?

2. Welchen Wert hat x bei x + y = 7 und x − y = 1?

x =

3. Welche Umformung ist nicht erlaubt?

4. Die letzte Zeile lautet 0x + 0y + 4z = 12. Wie groß ist z?

z =

5. Die letzte Zeile lautet 0 = 5. Was folgt daraus?

6. In der Zeile 0x + 1y + 2z = 11 ist bereits z = 3 bekannt. Wie groß ist y?

y =

7. Die letzte Zeile lautet 0 = 0. Was folgt daraus?

8. Wie viele Module vom Typ B werden in Musteraufgabe 1 hergestellt?

Stück

Lektion 4 von 8 des Kurses „Vektoren im Raum“

Diese Lektion gehört zum Selbstlernkurs „Vektoren im Raum“. Die Lektionen bauen aufeinander auf:

Punkte im Raum und das Schrägbild
Was ein Vektor ist — und was er nicht ist
Rechnen mit Vektoren: addieren und strecken
Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten ← diese Lektion
Kollinear, komplanar und die Linearkombination
Das Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität
Das Vektorprodukt: der Vektor, der senkrecht steht
Das Spatprodukt: Rauminhalt und Komplanarität

Jede Lektion bringt drei vollständig gerechnete Musteraufgaben, einen Arbeitsauftrag am dynamischen Werkzeug, sieben gestufte Übungsaufgaben mit sofortiger Rückmeldung und acht Selbstkontrollfragen.

Lektion 1 ist als kostenlose Leseprobe erhältlich. Alle Lektionen gibt es einzeln; als Gesamtpaket sind sie deutlich günstiger. Du findest sie im Profil von Christoph Mitterer.