In Lektion 2 war ein Vektor eine Verschiebung. Jetzt werden Verschiebungen verkettet: erst die eine, dann die andere — und heraus kommt wieder eine Verschiebung.
Dazu kommt das Strecken. Ein Vektor mal einer Zahl wird länger, kürzer oder dreht sich um. Aus diesem einen Handgriff entsteht der Einheitsvektor — ein Vektor der Länge 1, mit dem sich jede beliebige Strecke in eine Richtung abmessen lässt.
Auf dem Pultdach der Schule sollen die Solarmodule in Reihen liegen — von der Firstkante aus immer weiter nach unten, jede Reihe 1,6 Meter breiter unten als die vorige. Der Monteur braucht dafür zwei Dinge: eine Richtung (das Gefälle) und eine Schrittweite (1,6 Meter).
Die Richtung kennt er als Vektor: von der oberen Dachecke D zur unteren E. Aber dieser Vektor ist rund 10,77 Meter lang — er beschreibt einen Sprung über das ganze Dach, nicht einen Schritt von 1,6 Metern.
Das Rechnen selbst ist einfacher als in Lektion 2 — addiert und multipliziert wird Stelle für Stelle. Die Arbeit steckt nicht im Rechnen, sondern darin, zu wissen, welche Rechnung man braucht.
Nach dieser Lektion kannst du:
Zwei Verschiebungen nacheinander sind wieder eine Verschiebung. Im Bild hängt man den zweiten Pfeil mit seinem Fuß an die Spitze des ersten; der Pfeil vom Anfang bis zum Ende ist die Summe.
Im Bild: Zweiten Pfeil mit dem Fuß an die Spitze des ersten setzen. Die Summe führt vom Fuß des ersten zur Spitze des zweiten.
In der Rechnung: Die Spalten werden Stelle für Stelle addiert — erste zu erster, zweite zu zweiter, dritte zu dritter. Mehr passiert nicht.
Weil man die beiden Pfeile auch in umgekehrter Reihenfolge anhängen kann und dabei dieselbe Spitze erreicht, gilt a + b = b + a.
Mehr als zwei Vektoren gehen genauso: Man hängt sie der Reihe nach aneinander. Der Vektor vom ersten Fuß zur letzten Spitze ist die Summe aller.
Der wichtigste Sonderfall: Führt die Kette wieder zum Ausgangspunkt zurück, so ist die Summe der Nullvektor — der Vektor mit lauter Nullen. Man ist nirgendwo hingekommen.
Das ist keine Kuriosität, sondern die schnellste Rechenhilfe des ganzen Kurses: In jedem geschlossenen Streckenzug heben sich die Vektoren auf.
Subtrahieren heißt den Gegenvektor addieren: a − b = a + (−b). In der Rechnung wird also Stelle für Stelle abgezogen. Im Bild gibt es dafür eine bequeme Abkürzung.
Setzt man a und b am selben Fußpunkt an, so führt a − b von der Spitze von b zur Spitze von a.
Merkregel: Der Pfeil zeigt auf den vorderen Buchstaben. Bei b − a geht es genau andersherum — das ist der Gegenvektor.
Ein Vektor kann mit einer gewöhnlichen Zahl multipliziert werden. Solche Zahlen heißen im Zusammenhang mit Vektoren Skalare — im Unterschied zu den Vektoren selbst.
In der Rechnung: jede der drei Zahlen wird mit r multipliziert. Auch hier: Stelle für Stelle.
Richtung: bleibt. Alle Vielfachen eines Vektors liegen auf derselben Geraden.
Orientierung: Für r > 0 bleibt sie; für r < 0 dreht der Pfeil um.
Betrag: |r · a| = |r| · |a| — mit dem Betrag von r. Ein Faktor −2 verdoppelt die Länge, er halbiert sie nicht und macht sie erst recht nicht negativ.
Sonderfall: 0 · a ist der Nullvektor — der einzige Vektor ohne Richtung.
Jetzt der Handgriff, auf den der Einstieg hinauswollte. Teilt man einen Vektor durch seinen eigenen Betrag, so bleibt die Richtung erhalten und die Länge wird genau 1.
Der Vektor a0 hat dieselbe Richtung und Orientierung wie a, aber den Betrag 1. Man sagt, er sei normiert.
Durch den Betrag zu teilen heißt, mit 1 : |a| zu multiplizieren — es ist also eine ganz gewöhnliche skalare Multiplikation, nur mit einem besonders gewählten Faktor.
Wozu: Mit dem Einheitsvektor lässt sich jede Strecke in eine Richtung abmessen. s · a0 ist der Vektor, der in Richtung a zeigt und genau s Einheiten lang ist.
Erstens: subtrahieren statt teilen. „c0 = c − |c|“ ist falsch — der Betrag wird nicht abgezogen, sondern es wird durch ihn geteilt. Aufgabe 5 zeigt genau diesen Fall.
Zweitens: nur eine Zahl teilen. Der Faktor wirkt auf alle drei Einträge. Wer nur den ersten teilt, ändert die Richtung — und genau die sollte doch erhalten bleiben.
Beide Fehler fallen bei der Probe sofort auf: Der Betrag muss 1 sein.
Vektorterme dürfen umgeformt werden wie gewohnte Terme mit Zahlen — Klammern ausmultiplizieren, umsortieren, zusammenfassen. Das ist keine Selbstverständlichkeit, sondern folgt daraus, dass stellenweise gerechnet wird: In jeder einzelnen Zeile stehen gewöhnliche Zahlen, und für die gelten die Gesetze bereits.
Kommutativgesetz: a + b = b + a — die Reihenfolge der Summanden ist gleichgültig.
Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c) — die Klammern dürfen wandern.
Distributivgesetz, zwei Formen:
r · (a + b) = r · a + r · b und (r + s) · a = r · a + s · a
Nicht erlaubt ist alles, was es für Vektoren gar nicht gibt: durch einen Vektor teilen, zwei Vektoren wie Zahlen multiplizieren, einen Vektor zu einer Zahl addieren.
Beim Rechnen mit Beträgen bricht die Analogie zusammen. |a + b| ist im Allgemeinen nicht |a| + |b|.
Gegenbeispiel: a = (3 | 0 | 0) und b = (0 | 4 | 0) ergeben a + b = (3 | 4 | 0) mit |a + b| = 5 — aber |a| + |b| = 3 + 4 = 7.
Anschaulich ist das die Dreiecksungleichung: Der direkte Weg ist nie länger als der Umweg über die Spitze. Gleichheit gilt nur, wenn beide Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Aufgabe 6 lässt dich das selbst prüfen.
Die ersten beiden spielen wieder am Schulgebäude, die dritte ist reine Termarbeit. Sieh dir jeweils zuerst das Bild an — die Rechnung darunter bestätigt Schritt für Schritt, was dort schon zu sehen ist.
Der Satz aus 3.3 — „alle Vielfachen eines Vektors liegen auf derselben Geraden“ — lässt sich auf Papier nur behaupten. Im Explorer kann man ihn nicht widerlegen: Der Pfeil kommt von der gestrichelten Geraden nicht herunter, egal wie man am Regler dreht.
Der Regler stellt den Faktor r ein, gezeichnet wird r · u mit dem festen u = (4 | 0 | 3) und |u| = 5. Achte beim Schieben auf zwei Zeilen der Anzeige: den Betrag und die Orientierung. Der goldene Ring markiert die Stelle, an der der Pfeil genau die Länge 1 hat.
Der Regler läuft in Zehnteln, damit r = 1 : 5 = 0,2 — der Einheitsvektor — genau getroffen wird.
Erstens: Die beiden Zeilen „Betrag“ und |r| · |u| zeigen immer dieselbe Zahl — auch bei negativem r. Stelle r = −1 ein: Der Pfeil klappt um, aber der Betrag steht bei 5. Ein Betrag ist nie negativ.
Zweitens: Schiebe langsam durch die Null. Der Pfeil schrumpft, verschwindet und wächst auf der anderen Seite wieder heraus. Bei r = 0 bleibt nur der Punkt im Ursprung übrig — der Nullvektor, der einzige Vektor, dem man keine Richtung ansehen kann.
Drittens: Drücke „Einheitsvektor“. Der Regler springt auf r = 0,2, der Pfeil endet genau im goldenen Ring, und der Betrag ist 1. Das ist keine neue Rechenart: Es ist dieselbe skalare Multiplikation wie überall sonst, nur mit dem Faktor 1 : |u|.
GeoGebra rechnet mit Vektoren so, wie du es gerade gelernt hast — Summen, Vielfache und Beträge auf Knopfdruck. Öffne den 3D-Rechner in einem neuen Tab:
a=Vektor((3,-1,4)) und b=Vektor((-2,5,1)).a+b, a-b und 3a berechnen und vergleiche mit deinen Ergebnissen.Länge(3a) und 3*Länge(a) untereinander. Zwei Wege, eine Zahl — das ist die Regel |r · a| = |r| · |a| als Rechnung.Einheitsvektor(a). Vergleiche die Ausgabe mit a/Länge(a). Auch hier dasselbe.a/b. GeoGebra reagiert nicht so, wie du es von Zahlen kennst. Warum kann es das nicht? Aufgabe c) unten.Kein Internet oder Seite gesperrt? Dann nutze den Explorer oben; für a) und b) reicht er vollständig aus.
a) Ablesen. Stelle im Explorer r = 2 ein. Welche Einträge hat dann r · u, und wie groß ist sein Betrag?
x1 = x2 = x3 = Betrag =
b) Beobachten. Schiebe den Regler von einem Ende zum anderen und lies die Anzeigeleiste mit.
| Wird r negativ, so | |
| Genau die Länge 1 hat der Pfeil bei |
c) Erklären. Der Befehl Einheitsvektor(a) sieht aus, als könne GeoGebra etwas, was du nicht kannst. Erkläre, warum er nichts Neues leistet — und warum es umgekehrt keinen Befehl „Vektor durch Vektor“ gibt, obwohl „durch den Betrag teilen“ doch erlaubt ist. Schreibe drei bis vier Sätze.
Sieben Aufgaben, gestaffelt von leicht bis Transfer. Zwei Ratschläge: Rechne konsequent stellenweise und schreibe die drei Zeilen wirklich untereinander — die meisten Fehler in diesem Abschnitt sind verrutschte Zeilen, keine Rechenfehler. Und mache beim Einheitsvektor jedes Mal die Probe: Der Betrag muss 1 sein.
Gegeben sind a = (3 | −1 | 4) und b = (−2 | 5 | 1).
a) a + b =
b) a − b =
c) b − a =
d) Wie hängen die Ergebnisse von b) und c) zusammen?
Dieselben Vektoren wie in Aufgabe 1: a = (3 | −1 | 4) und b = (−2 | 5 | 1).
a) 3a =
b) −2b =
c) Wie groß ist |a|? Runde auf vier Nachkommastellen.
d) Und nun ohne neue Wurzel: Wie groß ist |3a|?
Gegeben ist c = (2 | 3 | 6). Sein Betrag geht glatt auf — rechne ihn zuerst aus.
a) Bestimme den Einheitsvektor c0. Vier Nachkommastellen.
b) Gib den Vektor an, der in Richtung c zeigt und genau 21 lang ist.
c) Welcher Weg führt bei b) am schnellsten zum Ziel?
Zurück auf das Schulgebäude: O(0|0|0), A(10|0|0), B(10|16|0), F(10|16|8).
a) Ein Weg führt von O über A und B nach F. Zwei Teilstücke sind bekannt: OA und AB. Bestimme das dritte, indem du von OF die Summe der beiden abziehst.
b) Auf dem Dach gilt DE + EF + FG = ?
Aufgabe war: „Bestimme den Einheitsvektor zu c = (2 | 3 | 6).“ Ein Schüler schreibt:
a) Gib den richtigen Einheitsvektor an. Vier Nachkommastellen.
b) Welche Kontrolle deckt den Fehler in einem einzigen Schritt auf?
c) Erkläre in drei bis vier Sätzen, was der Schüler verwechselt hat, was mit der Richtung seines Vektors passiert ist und warum die Probe hier so zuverlässig ist.
Entscheide jeweils, ob die Behauptung für alle Vektoren und alle Zahlen gilt. Zum Widerlegen genügt ein Gegenbeispiel; zum Bestätigen genügt kein einziges Beispiel.
a) „r · (a + b) = r · a + r · b für jede Zahl r.“
b) „|a + b| = |a| + |b| für alle Vektoren a und b.“
c) Begründe beide Antworten — bei der wahren Behauptung mit einem Argument, das für alle Fälle gilt, bei der falschen mit einem konkreten Gegenbeispiel samt beiden Zahlen.
Der Sparren führt von D(0|0|12) nach E(10|0|8); sein Einheitsvektor hat die Einträge 0,9285, 0 und −0,3714 (Musteraufgabe 2). Rechne mit ungerundeten Zwischenwerten.
a) Wo liegt der Punkt, der genau 3 Meter unterhalb von D auf dem Sparren sitzt? Vier Nachkommastellen.
b) Jede Modulreihe braucht 1,6 Meter Sparrenlänge. Wie viele volle Reihen passen darauf? Reihen
c) Es bleibt ein Rest übrig. Berechne ihn, und erkläre, warum die Antwort auf b) nicht durch Runden entsteht — und was der Rest praktisch bedeutet.
Acht Aufgaben quer durch die Lektion. Rechne jeweils kurz nebenbei; am Ende bekommst du dein Ergebnis und, falls nötig, eine gezielte Empfehlung.
1. Wie berechnet man die Summe zweier Vektoren?
2. Welchen ersten Eintrag hat 3 · (2 | −1 | 4)?
3. Wie groß ist |−2a|, wenn |a| bekannt ist?
4. Wie groß ist |3 · (1 | 4 | 8)|?
5. Wie entsteht der Einheitsvektor zu einem Vektor a?
6. Welchen dritten Eintrag hat der Einheitsvektor zu (2 | 3 | 6)? Vier Nachkommastellen.
7. Was ergibt die Summe der Vektoren eines geschlossenen Streckenzugs?
8. Der Sparren führt von D(0|0|12) nach E(10|0|8). Welche dritte Koordinate hat seine Mitte?
x3 =
Diese Lektion gehört zum Selbstlernkurs „Vektoren im Raum“. Die Lektionen bauen aufeinander auf:
Jede Lektion bringt drei vollständig gerechnete Musteraufgaben, einen Arbeitsauftrag am dynamischen Werkzeug, sieben gestufte Übungsaufgaben mit sofortiger Rückmeldung und acht Selbstkontrollfragen.
Lektion 1 ist als kostenlose Leseprobe erhältlich. Alle Lektionen gibt es einzeln; als Gesamtpaket sind sie deutlich günstiger. Du findest sie im Profil von Christoph Mitterer.