Mathematik · Vektoren im Raum

Vektoren im Raum — Lektion 2: Was ist ein Vektor?

A → F Nicht der Ort zählt, sondern die Verschiebung

In Lektion 1 hatte jeder Punkt eine feste Adresse. Jetzt geht es nicht mehr um das Wo, sondern um das Wohin: Wie kommt man von einer Gebäudeecke zur anderen?

Die Antwort ist ein Vektor — und der ist etwas Ungewohntes: Er hat keinen Ort. Derselbe Vektor kann an tausend verschiedenen Stellen gezeichnet werden und bleibt derselbe. Genau daran hängt fast alles, was ab hier kommt.

1 · Einstieg: Vier Kanten, eine Anweisung

Der Monteur, der die Solarmodule auf dem Schuldach befestigt, bekommt vier Kanten des Gebäudes vermessen: die untere hintere, die untere vordere, die obere hintere und die obere vordere — jeweils in der Breite. Alle vier sind 16 Meter lang, alle vier laufen in dieselbe Richtung.

Für ihn sind das nicht vier verschiedene Angaben, sondern eine einzige: „16 Meter nach rechts“. Wo er dabei anfängt, ist gleichgültig. Genau das ist die Idee des Vektors.

Drei Dinge, die einen Vektor festlegen
1. Richtung. Auf welcher Geraden liegt der Pfeil — waagrecht, senkrecht, schräg?
2. Orientierung. Nach welcher der beiden Seiten zeigt er? Nach rechts ist nicht dasselbe wie nach links.
3. Länge. Wie weit geht es? 16 Meter, nicht 8.
Und was nicht dazugehört: der Ort. Zwei Pfeile, die in den drei Punkten oben übereinstimmen, sind derselbe Vektor — auch wenn sie meterweit auseinanderliegen.

Das ist zunächst gewöhnungsbedürftig. Ein Punkt ist sein Ort; ein Vektor hat gar keinen. Er ist eine Verschiebungsanweisung, und die kann man überall ausführen.

Warum sich diese Mühe lohnt

Weil dadurch aus vier Messungen eine wird. In den Lektionen 6 bis 8 und im Kurs „Geraden und Ebenen im Raum“ kommt es noch dicker: Eine Gerade im Raum wird dann durch einen Punkt und einen Vektor beschrieben, eine Ebene durch einen Punkt und zwei Vektoren. Ohne die Ortlosigkeit des Vektors ginge das nicht — man müsste jede Gerade neu vermessen, statt eine Richtung einmal festzulegen und überall zu verwenden.

2 · Lernziele

Nach dieser Lektion kannst du:

3 · Erklärung

3.1 Von zwei Punkten zum Pfeil

Zwei Punkte legen eine Verschiebung fest: Man geht vom einen zum anderen. Wie weit man dabei in jede der drei Richtungen geht, steht direkt in den Koordinaten — man muss sie nur voneinander abziehen.

Der Verbindungsvektor

Sind P(p1 | p2 | p3) und Q(q1 | q2 | q3) gegeben, so ist der Vektor von P nach Q

PQ = q1 − p1q2 − p2q3 − p3

Spitze minus Fuß — in dieser Reihenfolge, Stelle für Stelle. P heißt Fußpunkt, Q heißt Spitze.

Der Verbindungsvektor von P nach Q als Weg in drei Etappen111x1x2x3P(1|2|1)Q(4|6|5)3 nach vorne4 nach rechts4 nach obenu=344Q minus P, Stelle für Stelle
Der Pfeil von P nach Q ist derselbe Weg wie die drei goldenen Etappen zusammen: drei nach vorne, vier nach rechts, vier nach oben. Die drei Zahlen des Vektors sind nichts anderes als die Längen dieser drei Etappen — und genau die stehen in der Differenz Q − P.
So sind die Raumbilder gezeichnet. Eine Pfeilspitze steht immer für einen Vektor, also für eine Verschiebung. Gestrichelt sind Hilfslinien: Lote, Projektionen, Verlängerungen. Eine blasse Fläche ist der gezeichnete Ausschnitt einer Ebene — die Ebene selbst hört dort nicht auf.
Der häufigste Fehler überhaupt

Fuß und Spitze vertauschen. Wer P − Q statt Q − P rechnet, bekommt den Gegenvektor: dieselbe Richtung, dieselbe Länge, aber die andere Orientierung. Alle drei Vorzeichen kippen.

Das Tückische daran: Der Betrag bleibt gleich. An der Länge fällt der Fehler also nicht auf. Verlass dich stattdessen auf eine Kontrolle im Bild — zeigt der Pfeil wirklich dorthin, wo die Spitze sein soll? Aufgabe 5 zeigt genau diesen Fall.

3.2 Ein Vektor ist die Menge aller Pfeile

Jetzt der Schritt, um den es in dieser Lektion eigentlich geht. Der Pfeil von P nach Q ist ein Pfeil. Verschiebt man ihn — ohne ihn zu drehen und ohne ihn zu stauchen — irgendwohin, so entsteht ein neuer Pfeil, der dieselbe Anweisung ausdrückt.

Vektor und Repräsentant

Ein Vektor ist die Menge aller Pfeile, die in Richtung, Orientierung und Länge übereinstimmen.

Jeder einzelne dieser Pfeile heißt ein Repräsentant des Vektors — ein Vertreter. Es gibt unendlich viele davon: zu jedem Fußpunkt im Raum genau einen.

Deshalb schreibt man einen Vektor auch nicht als Punkt hin, sondern als Spalte: Die Zahlen sagen, wie weit es in jede Richtung geht, nicht wo man ist.

Vier Pfeile mit gleicher Richtung, Orientierung und Laenge222x1x2x3Ortsvektoru=244vier Pfeile —ein einziger Vektor
Vier Pfeile, ein einziger Vektor. Sie sind gleich lang, gleich geneigt und zeigen in dieselbe Richtung — nur ihre Fußpunkte sind verschieden. Der blau gezeichnete beginnt im Ursprung; er hat einen eigenen Namen, siehe 3.3.
Die Probe: Sind das zwei Repräsentanten desselben Vektors?
Frage: Stellen der Pfeil von (1|1|1) nach (4|0|3) und der Pfeil von (0|5|2) nach (3|4|4) denselben Vektor dar?
1. Beide ausrechnen: (4|0|3) − (1|1|1) = (3|−1|2) und (3|4|4) − (0|5|2) = (3|−1|2).
2. Vergleichen: Beide Spalten sind gleich. Also ja — es sind zwei Repräsentanten desselben Vektors.
Wichtig: Die Fußpunkte spielen dabei keine Rolle. Es wird nichts über die Lage geprüft, nur über die Differenz.

3.3 Spaltenvektor und Ortsvektor

Damit man Vektoren nicht mit Punkten verwechselt, werden sie anders geschrieben: nicht nebeneinander in einer Klammer, sondern untereinander in einer Spalte. So steht es auch in der Merkhilfe, und so wird es in der Prüfung erwartet.

Zwei Schreibweisen, zwei Bedeutungen

Punkt: P(3 | 5 | 2) — eine Adresse. Der Punkt liegt dort und nirgends sonst.

Vektor: die Spalte mit den Einträgen 3, 5 und 2 untereinander — eine Verschiebung. Sie lässt sich überall ansetzen.

Über den Vektornamen kommt ein Pfeil, damit man ihn von einer gewöhnlichen Zahl unterscheiden kann.

Unter den unendlich vielen Repräsentanten eines Vektors gibt es einen besonderen: den, der im Ursprung beginnt. Und der stellt die Verbindung zwischen den beiden Welten her.

Der Ortsvektor

Der Ortsvektor eines Punktes P ist der Vektor vom Ursprung zu P, also OP.

Seine Einträge sind genau die Koordinaten von P — denn P − O heißt, von jeder Koordinate null abzuziehen.

Damit gehört zu jedem Punkt genau ein Ortsvektor und zu jedem Vektor genau ein Punkt. Der Ortsvektor ist die Brücke zwischen „wo“ und „wohin“.

Gleiche Zahlen, verschiedene Dinge

Dass der Ortsvektor dieselben Zahlen hat wie der Punkt, verleitet dazu, beides gleichzusetzen. Das geht schief, sobald ein Vektor nicht im Ursprung beginnt: Der Vektor mit den Einträgen 3, 5 und 2 kann bei (100|0|7) ansetzen und dort bei (103|5|9) enden. Mit dem Punkt P(3|5|2) hat das dann nichts mehr zu tun.

Merke: Nur der Ortsvektor hat dieselben Zahlen wie „sein“ Punkt — weil er im Ursprung beginnt.

3.4 Der Betrag — die Länge des Pfeils

Alle Repräsentanten eines Vektors sind gleich lang. Diese gemeinsame Länge heißt Betrag und wird zwischen zwei senkrechte Striche geschrieben.

Der Betrag eines Vektors

Für den Vektor mit den Einträgen a1, a2 und a3 gilt

|a| = √( a1² + a2² + a3² )

Also: jede Zahl quadrieren, alles addieren, die Wurzel ziehen. Das Ergebnis ist nie negativ.


Der Betrag entsteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken111x1x2x3A(2|3|6)|a|² = 2² + 3² + 6² = 13 + 36 = 49√(2² + 3²) = √136|a| = √49 = 7
Warum die Formel stimmt: zweimal der Satz des Pythagoras. Erst im Boden — der rostrote Weg vom Ursprung zum Fußpunkt ist √(2² + 3²) = √13 lang. Dann senkrecht dazu die Höhe 6, und daraus √(13 + 36) = √49 = 7. Die drei Quadrate in der Formel sind genau diese beiden Rechnungen in einer.
Drei Kontrollen, die nichts kosten
1. Nie negativ. Kommt ein negativer Betrag heraus, wurde vergessen zu quadrieren. Minuszeichen verschwinden beim Quadrieren — deshalb haben (2|3|6) und (2|−3|6) denselben Betrag 7.
2. Größer als jede einzelne Zahl. Der Betrag ist mindestens so groß wie der größte Betrag der drei Einträge — die Raumdiagonale ist länger als jede Kante.
3. Erst am Ende runden. √116 ist 10,7703…; wer damit weiterrechnet, nimmt den ungerundeten Wert. Rundest du erst auf 10,77 und multiplizierst dann mit 16, fehlen dir am Ende schon fünf Hundertstel Quadratmeter.
Und ein Sonderfall: Der Nullvektor — alle drei Einträge null — hat den Betrag 0. Er ist der einzige Vektor ohne Richtung; man kann ihn nicht als Pfeil zeichnen, nur als Punkt.

4 · Musteraufgaben

Alle drei spielen am Schulgebäude aus Lektion 1. Sieh dir jeweils zuerst das Bild an — die Rechnung darunter bestätigt Schritt für Schritt, was dort schon zu sehen ist.

Musteraufgabe 1 — Verbindungsvektor und Gegenvektor
Der Vektor von A nach F und sein Gegenvektor444x1x2x3A(10|0|0)F(10|16|8)v=0168w=0−16−8AF — durchgezogenFA — gestrichelt, versetzt gezeichnet
Beide Pfeile liegen auf derselben Geraden — deshalb ist der gestrichelte hier um wenige Pixel versetzt gezeichnet, sonst sähe man nur einen. In Wirklichkeit decken sie sich vollständig und unterscheiden sich allein durch die Richtung der Spitze.
Schritt für Schritt
Aufgabe: Gegeben sind die Gebäudeecken A(10 | 0 | 0) und F(10 | 16 | 8). Bestimme AF und FA als Spaltenvektoren und berechne ihre Beträge.
1. Reihenfolge klären: AF heißt „von A nach F“, also ist A der Fuß und F die Spitze. Gerechnet wird F − A.
2. Stelle für Stelle abziehen: 10 − 10 = 0, 16 − 0 = 16, 8 − 0 = 8. Der Spaltenvektor hat also die Einträge 0, 16 und 8.
3. Deutung: Die erste Null sagt, dass sich die Tiefe nicht ändert — A und F liegen beide auf der Vorderseite des Gebäudes. Es geht nur nach rechts und nach oben.
4. Gegenvektor: FA = A − F, also 0, −16 und −8. Alle drei Vorzeichen kippen — mehr passiert nicht.
5. Probe: Addiert man beide Spalten, kommt überall null heraus. Das muss so sein: hin und wieder zurück ist keine Verschiebung. Das Ergebnis heißt Nullvektor.
6. Betrag: |AF| = √(0² + 16² + 8²) = √(256 + 64) = √320. Wegen 320 = 64 · 5 ist das 8 · √5 ≈ 17,8885.
7. Und der Betrag von FA? Derselbe. Die Quadrate machen die Minuszeichen weg — (−16)² = 256. Hin und zurück ist gleich weit.
8. Antwortsatz: AF hat die Einträge 0, 16, 8 und FA die Einträge 0, −16, −8; beide sind rund 17,89 Meter lang. Das ist die Diagonale der vorderen Gebäudewand.
Musteraufgabe 2 — Vier Kanten, ein Vektor
Vier Gebaeudekanten, die denselben Vektor darstellen444x1x2x3OCABDGEFk=0160OC = AB = DG = EFVier Pfeile, ein Vektor.Alle 16 m lang, alle inx2-Richtung.
Vier Repräsentanten am Bauwerk. Zwei liegen am Boden, zwei am Dach; zwei vorne, zwei hinten. Trotzdem ist es ein Vektor — das Gebäude liefert hier gleich vier Vertreter davon frei Haus.
Schritt für Schritt
Aufgabe: Zeige, dass die vier Gebäudekanten OC, AB, DG und EF denselben Vektor darstellen. Die Ecken sind O(0|0|0), C(0|16|0), A(10|0|0), B(10|16|0), D(0|0|12), G(0|16|12), E(10|0|8), F(10|16|8).
1. Alle vier einzeln ausrechnen:OC = C − O hat die Einträge 0, 16, 0.
AB = B − A: 10 − 10 = 0, 16 − 0 = 16, 0 − 0 = 0.
DG = G − D: 0, 16, 12 − 12 = 0.
EF = F − E: 0, 16, 8 − 8 = 0.
2. Vergleichen: Viermal dieselbe Spalte — 0, 16, 0. Damit ist die Behauptung gezeigt.
3. Was das bedeutet: Es handelt sich nicht um vier Vektoren, die zufällig übereinstimmen, sondern um einen Vektor mit vier verschiedenen Repräsentanten. Die vier Kanten sind vier Vertreter derselben Anweisung „16 Meter in x2-Richtung“.
4. Betrag: √(0² + 16² + 0²) = √256 = 16 — genau die Gebäudebreite, wie erwartet.
5. Gegenprobe: Ist OA auch dieser Vektor? A − O hat die Einträge 10, 0, 0 — eine andere Spalte, also ein anderer Vektor. Gleich lang wäre er auch nicht: 10 ≠ 16.
6. Woran man es im Bild sieht: Die vier Pfeile sind parallel, gleich lang und zeigen alle nach rechts. Genau diese drei Eigenschaften — Richtung, Orientierung, Länge — machen den Vektor aus.
7. Antwortsatz: Die vier Kanten stellen denselben Vektor mit den Einträgen 0, 16 und 0 dar; sein Betrag ist 16.
8. Für den Monteur: Er braucht die Breite nur einmal zu messen. Alle vier Kanten sind dieselbe Angabe — das spart drei Messungen und drei mögliche Fehler.
Musteraufgabe 3 — Wie lang ist ein Sparren?
Die beiden Dachrichtungen, ihre Betraege und die Dachflaeche444x1x2x3DEGFs=100−4f=0160DE — Gefälle, |DE| = √116 ≈ 10,77 mDG — First, |DG| = 16 mFläche = 16 · √116 ≈ 172,33 m²
Die beiden Richtungen, die das Dach aufspannen: rostrot das Gefälle, teal der First. Der rote Winkelhaken bei D erinnert daran, dass sie senkrecht aufeinander stehen — nur deshalb ist die Fläche einfach das Produkt der beiden Beträge.
Schritt für Schritt
Aufgabe: Das Pultdach spannt sich über D(0|0|12), E(10|0|8), F(10|16|8) und G(0|16|12). Bestimme die Länge eines Sparrens (also von D nach E) und daraus die Dachfläche.
1. Die Gefällerichtung als Vektor: DE = E − D hat die Einträge 10 − 0 = 10, 0 und 8 − 12 = −4. Das Minus bedeutet: Es geht abwärts.
2. Betrag: |DE| = √(10² + 0² + (−4)²) = √(100 + 16) = √116. Wegen 116 = 4 · 29 ist das 2 · √29 ≈ 10,7703 Meter.
3. Erste Kontrolle: Das Dach überspannt 10 Meter Tiefe, ist aber 10,77 Meter lang — es muss länger sein, denn es liegt schräg. Genau 77 Zentimeter kommen durch die Neigung dazu.
4. Die zweite Richtung: DG = G − D hat die Einträge 0, 16, 0 — das ist der Vektor aus Musteraufgabe 2, der First. Sein Betrag ist 16.
5. Ist die Dachfläche ein Rechteck? Ja. In Lektion 1 stand bereits, dass F = D plus beide Richtungen ist, das Viereck also ein Parallelogramm. Und DE geht nur nach vorne und nach unten, DG nur nach rechts — die beiden stehen senkrecht aufeinander. (Nachweisen lässt sich das ab Lektion 6 mit dem Skalarprodukt.)
6. Fläche: |DE| · |DG| = √116 · 16 ≈ 172,3253, also rund 172,33 Quadratmeter.
7. Zweite Kontrolle: Die Grundfläche des Gebäudes beträgt 10 · 16 = 160 Quadratmeter. Das Dach ist mit 172,33 Quadratmetern gut zwölf Quadratmeter größer — dieselbe Grundfläche, aber schräg überspannt.
8. Antwortsatz: Ein Sparren ist 2 · √29 ≈ 10,77 Meter lang, die Dachfläche beträgt rund 172,33 Quadratmeter. Für die Solarmodule stehen also etwa zwölf Quadratmeter mehr zur Verfügung, als der Grundriss vermuten lässt.

5 · Digitale Werkzeuge

Die Behauptung aus 3.2 — „derselbe Vektor, viele Pfeile“ — ist auf Papier schwer zu prüfen: Man müsste den Pfeil verschieben und dabei zusehen. Genau das macht der Explorer.

5.1 Explorer: einen Repräsentanten verschieben

Die drei Regler bewegen den Fußpunkt des teal gezeichneten Pfeils. Der Pfeil selbst bleibt dabei unverändert — beobachte die Anzeige: Spaltenvektor und Betrag stehen still, während sich Fuß und Spitze ändern. Der blaue Pfeil im Ursprung liegt fest und dient als Vergleich.

0
0
0
Ein fester Vektor, dessen Fusspunkt mit drei Reglern durch den Raum geschoben wird; Spaltenvektor und Betrag bleiben dabei unveraendert222x1x2x3Ortsvektor (fest)Fuss (0 | 0 | 0) → Spitze (2 | 4 | 4)das ist der Ortsvektoru=244ändert sich nie
Fußpunkt(0 | 0 | 0)
Spitze(2 | 4 | 4)
Spitze minus Fuß(2 | 4 | 4)
Betrag6
Abstand zum Ortsvektor0
Drei Dinge, die du hier sehen sollst

Erstens: Die Zeile „Spitze minus Fuß“ ändert sich nie, egal wie du schiebst. Genau das ist die Aussage von 3.2 — der Vektor hängt nicht vom Ort ab. Auch der Betrag bleibt bei 6 stehen.

Zweitens: Setze den Fußpunkt in den Ursprung. Jetzt decken sich der teal und der blaue Pfeil vollständig, und die Spitze steht bei (2 | 4 | 4) — den Zahlen des Vektors. Das ist der Ortsvektor aus 3.3, und er ist nur einer unter unendlich vielen Repräsentanten.

Drittens: Die letzte Zeile misst, wie weit der verschobene Fußpunkt vom Ursprung entfernt ist. Sie ändert sich ständig — der Vektor selbst aber nicht. Ort und Vektor sind wirklich zwei verschiedene Dinge.

5.2 Arbeitsauftrag für GeoGebra 3D

Digitale Werkzeuge — Arbeitsauftrag

GeoGebra kennt Vektoren als eigenen Objekttyp und rechnet Beträge auf Knopfdruck. Öffne den 3D-Rechner in einem neuen Tab:

www.geogebra.org/3d

  1. Gib die Dachecken ein: D=(0,0,12) und E=(10,0,8).
  2. Erzeuge den Verbindungsvektor mit v=Vektor(D,E) — achte auf die Reihenfolge der beiden Buchstaben.
  3. Lass den Betrag berechnen: Länge(v). Vergleiche mit Musteraufgabe 3.
  4. Und jetzt der Punkt, um den es geht: Gib w=Vektor((3,7,2),(5,11,6)) ein. Vergleiche w mit dem Vektor aus Aufgabe a) unten — was fällt auf, obwohl die vier Punkte nichts miteinander zu tun haben?
  5. Die Frage, die das Werkzeug nicht beantwortet: GeoGebra zeichnet jeden Vektor an genau einer Stelle. Warum ist das eigentlich willkürlich? Aufgabe c) unten.

Kein Internet oder Seite gesperrt? Dann nutze den Explorer oben; für a) und b) reicht er vollständig aus.

Erst schieben, dann erklären
leicht

a) Ablesen. Stelle im Explorer den Fußpunkt auf (3 | 2 | 4) (Knopf „irgendwohin“). Welche Koordinaten hat dann die Spitze?

x1 =    x2 =    x3 =

b) Beobachten. Schiebe alle drei Regler durch und lies die Anzeigeleiste mit.

Beim Verschieben des Fußpunktes ändert sich
Der Betrag beträgt dabei durchgehend

c) Erklären. GeoGebra zeichnet einen Vektor immer an genau einer Stelle — meist dort, wo man ihn erzeugt hat. Warum ist diese Stelle mathematisch gesehen willkürlich, und warum ist es trotzdem praktisch, eine zu wählen? Schreibe zwei bis drei Sätze.

6 · Übungsaufgaben

Sieben Aufgaben, gestaffelt von leicht bis Transfer. Zwei Ratschläge: Schreibe bei jedem Verbindungsvektor zuerst hin, welcher Punkt die Spitze ist — dann kann die Reihenfolge nicht mehr durcheinandergeraten. Und quadriere beim Betrag zuerst alles, bevor du addierst.

Aufgabe 1 — Verbindungsvektoren
leicht

Bestimme jeweils den Vektor vom ersten zum zweiten Punkt.

a) P(1 | 2 | 2) nach Q(4 | 6 | 8):

b) R(5 | 0 | 3) nach S(2 | 7 | 3):

c) T(0 | 4 | 9) nach V(0 | 4 | 1):

d) Was fällt bei c) auf?

Aufgabe 2 — Beträge
leicht

Berechne die Beträge. Alle vier Ergebnisse sind ganze Zahlen — wenn bei dir etwas Krummes herauskommt, steckt ein Rechenfehler drin.

VektorBetrag
(2 | 3 | 6)
(1 | 4 | 8)
(6 | 6 | 7)
(2 | −3 | 6)

Und eine Nachfrage: Warum haben die erste und die vierte Zeile denselben Betrag?

Aufgabe 3 — Spitze und Fuß gesucht
mittel

Gegeben ist der Vektor mit den Einträgen 3, −1 und 2.

a) Der Repräsentant beginnt bei S(2 | 5 | 1). Wo endet er?

b) Ein anderer Repräsentant endet bei (7 | 7 | 7). Wo beginnt er?

c) Welcher der drei Pfeile stellt nicht diesen Vektor dar?

Aufgabe 4 — Ortsvektor
mittel

Gegeben ist der Punkt H(4 | −2 | 7).

a) Gib die drei Einträge seines Ortsvektors an.

b) Wie groß ist sein Betrag? Runde auf vier Nachkommastellen.  

c) Ein Mitschüler behauptet: „Der Ortsvektor von H und der Punkt H sind dasselbe.“ Was ist daran richtig und was nicht?

Aufgabe 5 — Fehlersuche in einer Schülerlösung
mittel

Aufgabe war: „Bestimme PQ für P(3 | 1 | 4) und Q(8 | 5 | 2) und berechne den Betrag.“ Ein Schüler schreibt:

Die Schülerlösung
„PQ = P − Q = (3−8 | 1−5 | 4−2) = (−5 | −4 | 2). Der Betrag ist √(25 + 16 + 4) = √45 ≈ 6,7082.“

a) Gib den richtigen Vektor PQ an.

b) Was stimmt an der Schülerlösung trotzdem?

c) Erkläre in zwei bis drei Sätzen, warum gerade dieser Fehler so schwer zu bemerken ist — und nenne eine Kontrolle, die ihn zuverlässig aufdeckt.

Aufgabe 6 — Zwei Behauptungen prüfen
Transfer

Entscheide jeweils, ob die Behauptung stimmt. Zum Widerlegen genügt ein Gegenbeispiel.

a) „Zwei Vektoren mit gleichem Betrag sind gleich.“

b) „Für alle Punkte A und B ist AB der Gegenvektor von BA.“

c) Begründe beide Antworten — bei a) mit einem konkreten Gegenbeispiel, bei b) mit einem Argument, das für alle Punkte gilt.

Aufgabe 7 — Wie viel Dachfläche steht zur Verfügung?
Transfer

Zurück auf das Schuldach: D(0|0|12), E(10|0|8), G(0|16|12). Rechne mit ungerundeten Zwischenwerten und runde erst am Schluss.

a) Wie lang ist ein Sparren, also |DE|? Vier Nachkommastellen.   m

b) Wie groß ist die Dachfläche |DE| · |DG|? Zwei Nachkommastellen.   m²

c) Die Grundfläche des Gebäudes beträgt 160 Quadratmeter, die Dachfläche ist größer. Erkläre, woran das liegt — und was daraus für die Zahl der Solarmodule folgt.

7 · Selbstkontrolle

Acht Aufgaben quer durch die Lektion. Rechne jeweils kurz nebenbei; am Ende bekommst du dein Ergebnis und, falls nötig, eine gezielte Empfehlung.

1. Wie berechnet man den Vektor von A nach B?

2. Wie groß ist der Betrag des Vektors (2 | 3 | 6)?

Betrag =

3. Was ist ein Repräsentant eines Vektors?

4. Ein Repräsentant des Vektors mit den Einträgen 3, −1, 2 beginnt bei (1 | 1 | 1). Welche zweite Koordinate hat seine Spitze?

x2 =

5. Welche Einträge hat der Ortsvektor von P(3 | 5 | 2)?

6. Wie lang ist ein Sparren des Pultdachs, also |DE|? Runde auf zwei Nachkommastellen.

m

7. Welche Einträge hat der Gegenvektor zu (4 | −1 | 0)?

8. Wie groß ist die Dachfläche in Quadratmetern? Runde auf zwei Nachkommastellen.

m²

Lektion 2 von 8 des Kurses „Vektoren im Raum“

Diese Lektion gehört zum Selbstlernkurs „Vektoren im Raum“. Die Lektionen bauen aufeinander auf:

  1. Punkte im Raum und das Schrägbild
  2. Was ein Vektor ist — und was er nicht ist ← diese Lektion
  3. Rechnen mit Vektoren: addieren und strecken
  4. Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
  5. Kollinear, komplanar und die Linearkombination
  6. Das Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität
  7. Das Vektorprodukt: der Vektor, der senkrecht steht
  8. Das Spatprodukt: Rauminhalt und Komplanarität



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