Mathematik · Vektoren im Raum

Vektoren im Raum — Lektion 1: Punkte im Raum

P(4 | 5 | 4) Drei Zahlen statt zwei — und aus der Ebene wird der Raum

Bisher ging es in Mathematik um Funktionen und ihre Graphen. Jetzt wechselt das Thema: Hier geht es um Geometrie — um Punkte, Kanten und Flächen im Raum, und später um Geraden und Ebenen.

Der Anfang ist leichter, als er klingt. Ein Punkt in der Ebene braucht zwei Zahlen, ein Punkt im Raum braucht drei. Die eigentliche Arbeit dieser Lektion ist nicht das Rechnen, sondern das Sehen: Wie zeichnet man den Raum auf ein flaches Blatt Papier, sodass jeder dieselbe Stelle meint?

1 · Einstieg: Die Solaranlage auf dem Schuldach

Die Schule plant eine Photovoltaikanlage. Auf den Baukörper soll ein Pultdach gesetzt werden — eine einzige schräge Fläche, die von hinten nach vorne abfällt, sodass die Module nach Süden zeigen. Die Handwerksfirma schickt einen Plan mit vier Zahlen: Tiefe 10 Meter, Breite 16 Meter, Höhe hinten 12 Meter, Höhe vorne 8 Meter.

Vier Zahlen — und trotzdem weiß noch niemand, wo genau die Befestigungspunkte sitzen. Erst wenn man ein Koordinatensystem in das Gebäude legt, bekommt jede Ecke eine unverwechselbare Adresse:

Schulgebaeude mit Pultdach im Schraegbild, Eckpunkte O bis G444x1x2x3OABCDEFGPultdachTiefe 10 m, Breite 16 mHöhe hinten 12 m, vorne 8 m
Der Ursprung liegt in einer Bodenecke des Gebäudes. Damit hat jede der acht Ecken drei Zahlen: A(10 | 0 | 0) ist die vordere Bodenecke, F(10 | 16 | 8) die vordere obere Dachecke. Die drei gestrichelten Kanten am Ursprung sind vom Betrachter aus verdeckt — so zeichnet man das immer.
So sind die Raumbilder gezeichnet. Eine Pfeilspitze steht immer für einen Vektor, also für eine Verschiebung. Gestrichelt sind Hilfslinien: Lote, Projektionen, Verlängerungen. Eine blasse Fläche ist der gezeichnete Ausschnitt einer Ebene — die Ebene selbst hört dort nicht auf.

Dieses Gebäude begleitet dich durch den ganzen Kurs. In dieser Lektion geht es um seine Eckpunkte; später kommen die Kanten als Vektoren dazu, dann die Dachfläche als Ebene und schließlich der Winkel, unter dem die Sonne darauf trifft.

Warum die Reihenfolge der drei Zahlen zählt
F(10 | 16 | 8) ist die vordere obere Dachecke.
(8 | 16 | 10) wäre ein Punkt außerhalb des Gebäudes, zwei Meter über dem Dach und acht Meter hinter der Vorderkante.
Dieselben drei Zahlen, andere Reihenfolge, anderer Ort. Ein Punkt im Raum ist ein geordnetes Zahlentripel.

2 · Lernziele

Nach dieser Lektion kannst du:

3 · Erklärung

3.1 Drei Achsen statt zwei

In der Ebene gab es zwei Achsen, die x- und die y-Achse. Im Raum kommt eine dritte dazu. Weil „x, y, z“ bei drei Achsen schnell unübersichtlich wird, heißen sie in der Geometrie x1, x2 und x3 — durchnummeriert statt durchbuchstabiert. Ein Punkt bekommt entsprechend drei Koordinaten, getrennt durch senkrechte Striche:

P(p1 | p2 | p3)

Das eigentliche Problem ist das Blatt Papier: Es hat nur zwei Richtungen, der Raum hat drei. Eine der drei Achsen muss also schräg gezeichnet werden — und damit alle dasselbe Bild erhalten, ist genau festgelegt, wie.

Das Schrägbild — die Zeichenvorschrift

x3 zeigt nach oben, x2 nach rechts. Beide werden in wahrer Länge gezeichnet: ein Kästchen ist eine Einheit.

x1 zeigt schräg nach vorne links, unter einem Winkel von 45 Grad — und wird dabei auf die halbe Länge verkürzt. Eine Einheit auf der x1-Achse ist im Bild nur halb so lang wie eine Einheit auf den anderen beiden.

Auf kariertem Papier heißt das: eine Einheit nach vorne = eine Kästchendiagonale nach links unten.

Warum ausgerechnet halb so lang?

Die x1-Achse zeigt auf den Betrachter zu. Zeichnete man sie in voller Länge, sähe ein Würfel aus wie ein in die Länge gezogener Kasten — das Auge erwartet, dass etwas, das nach vorne ragt, kürzer erscheint. Die Verkürzung auf die Hälfte ist eine Verabredung, kein Naturgesetz; aber sie ist die Verabredung, die in Bayern in jeder Prüfung gilt. Wer sie nicht einhält, zeichnet ein anderes Bild als der Rest der Klasse.

3.2 Einen Punkt eintragen: der Weg in drei Etappen

Einen Punkt trägst du nie „nach Gefühl“ ein, sondern immer über denselben Weg — erst nach vorne, dann nach rechts, dann nach oben. Die Hilfslinien dieses Weges heißen Lotlinien und werden gestrichelt mitgezeichnet. Ohne sie ist ein Schrägbild nicht lesbar: Man sieht dem Punkt allein nicht an, wie weit hinten er liegt.

Weg zum Punkt P: vier nach vorne, fuenf nach rechts, vier nach oben111x1x2x3P′P(4|5|4)1. vier nach vorne2. fünf nach rechts3. vier nach oben
Der Weg zu P(4 | 5 | 4): vier Einheiten nach vorne auf der x1-Achse, von dort fünf nach rechts, von dort vier nach oben. Der graue Punkt P′(4 | 5 | 0) heißt Fußpunkt — er ist der Schatten von P auf dem Boden.
So gehst du beim Zeichnen vor
1. Von O aus p1 Einheiten auf der x1-Achse nach vorne — bei halber Kästchenlänge.
2. Von dort p2 Einheiten nach rechts, parallel zur x2-Achse. Jetzt stehst du im Fußpunkt P′(p1 | p2 | 0).
3. Von dort p3 Einheiten senkrecht nach oben, parallel zur x3-Achse. Dort liegt P.
4. Die Strecke vom Fußpunkt zu P und die beiden Wegstücke am Boden gestrichelt nachziehen. Erst damit ist das Bild eindeutig.
Umgekehrt lesen: Beim Ablesen gehst du denselben Weg rückwärts — vom Punkt senkrecht hinunter zum Fußpunkt, von dort parallel zu den Achsen zurück zum Ursprung. Die drei abgezählten Strecken sind die drei Koordinaten.
Negative Koordinaten

Alle drei Achsen haben auch eine negative Seite: x1 nach hinten rechts, x2 nach links, x3 nach unten. Der Weg funktioniert genauso — nur eben in die andere Richtung. In Sachkontexten wie dem Schulgebäude kommen negative Koordinaten selten vor, weil man den Ursprung mit Absicht so legt, dass alles im positiven Bereich liegt. In der Symmetrie ab 3.4 tauchen sie dagegen zwangsläufig auf.

3.3 Besondere Lage — was man den Koordinaten ansieht

Manche Punkte liegen nicht irgendwo im Raum, sondern genau auf einer Achse oder in einer der drei Koordinatenebenen. Das muss man nicht zeichnen, um es zu erkennen: Man sieht es an den Nullen.

Nullen zählen — das ist die ganze Regel

Drei Nullen: Der Punkt ist der Ursprung O(0 | 0 | 0).

Zwei Nullen: Der Punkt liegt auf einer Achse — und zwar auf der Achse, deren Koordinate übrig geblieben ist. (0 | 4 | 0) liegt auf der x2-Achse.

Eine Null: Der Punkt liegt in einer Koordinatenebene — und zwar in der Ebene, die von den beiden übrigen Achsen aufgespannt wird. (4 | 3 | 0) liegt in der x1x2-Ebene.

Keine Null: Keine besondere Lage. Der Punkt schwebt frei im Raum.

Punkte auf einer Achse, in einer Koordinatenebene und ohne besondere Lage111x1x2x3K(0|4|0)L(4|3|0)M(0|0|4)N(3|5|4)K — auf der x2-AchseL — in der x1x2-EbeneM — auf der x3-AchseN — keine besondere Lage
Vier Punkte, vier Fälle. Die x1x2-Ebene ist als goldene Fläche angedeutet — sie ist der „Boden“. Achte darauf, dass K sowohl auf der x2-Achse als auch in der x1x2-Ebene liegt: Wer auf einer Achse liegt, liegt immer auch in zwei Ebenen. Man nennt dann die engste Lage.
Die drei Koordinatenebenen und ihre Namen
Die x1x2-Ebene ist der Boden. In ihr liegen alle Punkte mit p3 = 0.
Die x1x3-Ebene ist die linke Seitenwand. In ihr liegen alle Punkte mit p2 = 0.
Die x2x3-Ebene ist die hintere Wand. In ihr liegen alle Punkte mit p1 = 0.
Merkhilfe zum Namen: Die Ebene heißt nach den Achsen, die in ihr liegen. Null wird also die Koordinate, deren Achse nicht im Namen vorkommt.

3.4 Symmetrische Lage — Vorzeichen umdrehen

Zwei Punkte können symmetrisch zueinander liegen: zum Ursprung, zu einer Achse oder zu einer Koordinatenebene. Auch das ist reine Vorzeichenarbeit — es muss nichts gezeichnet und nichts gerechnet werden.

Die drei Spiegelungen

Am Ursprung: alle drei Vorzeichen umdrehen. Aus P(3 | 2 | 3) wird (−3 | −2 | −3).

An einer Achse: Die Koordinate dieser Achse bleibt, die beiden anderen drehen um. Bei der x3-Achse wird aus P(3 | 2 | 3) also (−3 | −2 | 3).

An einer Koordinatenebene: Die beiden Koordinaten in der Ebene bleiben, die dritte dreht um. Bei der x1x2-Ebene wird aus P(3 | 2 | 3) also (3 | 2 | −3).

Ein Punkt und seine Spiegelpunkte an Ursprung, Achse und Ebene111x1x2x3(−3|−2|−3)am Ursprung(−3|−2|3)an der x3-Achse(3|2|−3)an der x1x2-EbeneP(3|2|3)
Ein Punkt, drei Spiegelungen, drei verschiedene Bildpunkte. Am schnellsten unterscheidest du sie durch Abzählen: Bei der Ursprungsspiegelung wechseln drei Vorzeichen, bei der Achsenspiegelung zwei, bei der Ebenenspiegelung eines.
Achse und Ebene werden am häufigsten verwechselt

Die beiden Regeln klingen ähnlich, sind aber gegenläufig. Eine Achse ist eindimensional — deshalb bleibt eine Koordinate stehen und zwei drehen um. Eine Ebene ist zweidimensional — deshalb bleiben zwei Koordinaten stehen und eine dreht um.

Eselsbrücke: Was in der Achse oder Ebene drinsteckt, bleibt. Bei der x1x3-Ebene stecken p1 und p3 drin — also dreht p2 um.

Umgekehrt gefragt: Liegen diese beiden Punkte symmetrisch?
Aufgabe: Liegen R(5 | −2 | 7) und S(−5 | −2 | 7) symmetrisch zueinander, und wenn ja, wozu?
1. Koordinaten paarweise vergleichen: 5 und −5 haben verschiedene Vorzeichen; −2 und −2 sind gleich; 7 und 7 sind gleich.
2. Zählen: Genau eine Koordinate hat das Vorzeichen gewechselt — die erste.
3. Zuordnen: Eine gewechselte Koordinate heißt Spiegelung an einer Ebene. Gewechselt hat p1, geblieben sind p2 und p3 — das ist die x2x3-Ebene.
4. Antwortsatz: R und S liegen symmetrisch zur x2x3-Ebene.
Wichtig: Die Beträge müssen paarweise übereinstimmen. Bei (5 | −2 | 7) und (−5 | 2 | 7) wären es zwei Wechsel — Spiegelung an der x3-Achse. Bei (5 | −2 | 7) und (−4 | −2 | 7) liegt dagegen gar keine Symmetrie vor, weil 5 ≠ 4.

4 · Musteraufgaben

Drei Aufgaben, die aufeinander aufbauen: erst einzelne Punkte eintragen, dann die acht Ecken des Schulgebäudes einordnen, schließlich spiegeln. Sieh dir jeweils zuerst das Bild an — die Rechnung darunter bestätigt Schritt für Schritt, was dort schon zu sehen ist.

Musteraufgabe 1 — Drei Punkte eintragen und einordnen
Die Punkte P, Q und R im Schraegbild mit ihren Lotlinien111x1x2x3P(4|5|4)Q(6|2|0)R(0|0|3)
Q liegt flach auf dem Boden, R steht senkrecht auf der Achse, nur P schwebt frei im Raum. Die gestrichelten Linien sind kein Schmuck: Deckte man sie ab, könnte man P nicht mehr von einem Punkt weiter hinten unterscheiden.
Schritt für Schritt
Aufgabe: Trage P(4 | 5 | 4), Q(6 | 2 | 0) und R(0 | 0 | 3) in ein Schrägbild ein und gib jeweils die besondere Lage an.
1. Achsenkreuz zeichnen: x3 nach oben, x2 nach rechts, x1 unter 45 Grad nach vorne links mit halber Einheitslänge.
2. P eintragen: vier nach vorne, fünf nach rechts, vier nach oben. Fußpunkt P′(4 | 5 | 0) markieren, Lotlinien gestrichelt.
3. Q eintragen: sechs nach vorne, zwei nach rechts — und dann nicht nach oben, denn q3 = 0. Q ist sein eigener Fußpunkt.
4. R eintragen: null nach vorne, null nach rechts, drei nach oben. R liegt direkt auf der x3-Achse; Lotlinien sind hier überflüssig.
5. Lage von P: keine Null unter den Koordinaten — keine besondere Lage.
6. Lage von Q: eine Null an dritter Stelle — Q liegt in der x1x2-Ebene.
7. Lage von R: zwei Nullen, übrig bleibt die dritte Koordinate — R liegt auf der x3-Achse.
8. Kontrolle: Zähle im fertigen Bild die Lotlinien nach. P braucht drei Wegstücke, Q zwei, R keines — genau so viele, wie der Punkt von null verschiedene Koordinaten hat.
Musteraufgabe 2 — Die acht Ecken des Schulgebäudes
Die Eckpunkte des Gebaeudes nach ihrer besonderen Lage eingefaerbt444x1x2x3ACDBEGFOA, C, D liegen auf einer AchseB, E, G liegen in einer KoordinatenebeneF hat keine besondere LageO ist der Ursprung
Dieselbe Zeichnung wie im Einstieg, jetzt nach der Lage eingefärbt. Beachte die Wahl des Ursprungs: Läge er irgendwo im Schulhof, hätte keine Ecke eine besondere Lage und alle Rechnungen würden länger. Den Ursprung geschickt zu legen ist der erste und billigste Schritt jeder Raumaufgabe.
Schritt für Schritt
Aufgabe: Das Gebäude aus dem Einstieg ist 10 m tief, 16 m breit, hinten 12 m und vorne 8 m hoch. Der Ursprung liegt in der hinteren linken Bodenecke. Gib alle acht Eckpunkte an und ordne jeden nach seiner besonderen Lage ein.
1. Bodenecken: Alle haben p3 = 0. Das sind O(0 | 0 | 0), A(10 | 0 | 0), B(10 | 16 | 0) und C(0 | 16 | 0).
2. Dachecken: Hinten ist die Höhe 12, vorne 8 — also D(0 | 0 | 12), E(10 | 0 | 8), F(10 | 16 | 8) und G(0 | 16 | 12).
3. Nullen zählen — drei Nullen: O ist der Ursprung.
4. Zwei Nullen: A(10 | 0 | 0) auf der x1-Achse, C(0 | 16 | 0) auf der x2-Achse, D(0 | 0 | 12) auf der x3-Achse. Alle drei Achsen sind vertreten.
5. Eine Null: B(10 | 16 | 0) in der x1x2-Ebene, E(10 | 0 | 8) in der x1x3-Ebene, G(0 | 16 | 12) in der x2x3-Ebene. Auch hier ist jede Ebene genau einmal dabei.
6. Keine Null: F(10 | 16 | 8) — der einzige Eckpunkt ohne besondere Lage.
7. Antwortsatz: Die acht Ecken decken alle vier Fälle ab: einmal Ursprung, dreimal Achse, dreimal Koordinatenebene, einmal keine besondere Lage. Das ist kein Zufall, sondern eine Folge davon, dass der Ursprung in einer Gebäudeecke liegt.
8. Probe am Bild: Jede Ecke, die auf einer gestrichelten Kante liegt, hat mindestens eine Null — die gestrichelten Kanten sind genau die drei Achsenstücke am Ursprung.
Musteraufgabe 3 — Den Dachpunkt F spiegeln
Der Dachpunkt F und seine Spiegelpunktex1x2x3(−10|−16|−8)am Ursprung(−10|−16|8)an der x3-Achse(10|16|−8)an der x1x2-EbeneF(10|16|8)
Das Gebäude ist blass mitgezeichnet, damit man sieht, wo F sitzt. Die drei gestrichelten Verbindungen zeigen den jeweiligen Spiegelweg: Beim Ursprung führt die Strecke genau durch O, bei der Ebene senkrecht durch den Boden, bei der Achse waagrecht durch die x3-Achse.
Schritt für Schritt
Aufgabe: Spiegle F(10 | 16 | 8) am Ursprung, an der x3-Achse und an der x1x2-Ebene. Prüfe außerdem, ob F und E(10 | 0 | 8) symmetrisch zueinander liegen.
1. Am Ursprung: alle drei Vorzeichen umdrehen — (−10 | −16 | −8).
2. An der x3-Achse: p3 bleibt, die beiden anderen drehen um — (−10 | −16 | 8).
3. An der x1x2-Ebene: p1 und p2 bleiben, p3 dreht um — (10 | 16 | −8).
4. Kontrolle über die Anzahl der Wechsel: drei Wechsel beim Ursprung, zwei bei der Achse, einer bei der Ebene. Alle drei Bildpunkte sind verschieden — das muss so sein, denn die drei Spiegelungen sind verschiedene Abbildungen.
5. Zusatzfrage — F und E: F(10 | 16 | 8) und E(10 | 0 | 8). Erste und dritte Koordinate stimmen überein, die zweite ist 16 gegen 0.
6. Antwort auf die Zusatzfrage: 0 ist nicht das Gegenteil von 16 — bei einer Spiegelung müsste dort −16 stehen. F und E liegen also nicht symmetrisch zueinander. Sie liegen allerdings symmetrisch zur Ebene p2 = 8, also zur senkrechten Mittelebene des Gebäudes — aber das ist keine Koordinatenebene, und danach war nicht gefragt.
7. Antwortsatz: Die drei Spiegelpunkte sind (−10 | −16 | −8), (−10 | −16 | 8) und (10 | 16 | −8). F und E liegen zu keiner Koordinatenebene und zu keiner Koordinatenachse symmetrisch.
8. Was das anschaulich heißt: Der an der x1x2-Ebene gespiegelte Punkt liegt 8 Meter unter dem Boden — dort, wo das Spiegelbild des Gebäudes läge, wenn der Schulhof ein See wäre.

5 · Digitale Werkzeuge

Ein Schrägbild von Hand zu zeichnen dauert. Am Bildschirm lässt sich derselbe Punkt in einer Sekunde verschieben — und genau das hilft beim Verstehen: Du siehst, wann eine Koordinate null wird und was das für die Lage bedeutet.

5.1 Explorer: einen Punkt durch den Raum schieben

Die drei Regler stellen die drei Koordinaten ein. Der graue Punkt ist immer der Fußpunkt, die gestrichelten Linien sind der Weg dorthin. Achte auf die Zeile über dem Bild: Sie meldet, sobald der Punkt eine besondere Lage erreicht.

3
6
2
Ein Punkt im raeumlichen Koordinatensystem, dessen drei Koordinaten mit Reglern eingestellt werden; die Lotlinien und die besondere Lage werden mitgefuehrt111x1x2x3P(3 | 6 | 2) — keine besondere Lagekeine Koordinate ist nullRegler bewegen — die Lotlinien laufen mit
Punkt(3 | 6 | 2)
Fußpunkt(3 | 6 | 0)
Anzahl der Nullen0
Besondere Lagekeine besondere Lage
Am Ursprung gespiegelt(−3 | −6 | −2)
Drei Dinge, die du hier sehen sollst

Erstens: Die Anzeige „Anzahl der Nullen“ und die Anzeige „Besondere Lage“ hängen starr zusammen. Schiebe irgendeinen Regler auf null und beobachte, wie beide gleichzeitig umspringen — die Regel aus 3.3 ist keine Merkregel, sondern eine Beschreibung dessen, was ohnehin passiert.

Zweitens: Setze x3 auf null. Punkt und Fußpunkt fallen zusammen, die senkrechte Lotlinie verschwindet. Ein Punkt in der x1x2-Ebene ist sein eigener Fußpunkt.

Drittens: Stelle nacheinander (2 | 0 | 0) und (0 | 2 | 0) ein. Beide liegen auf einer Achse, beide haben zwei Nullen — aber im Bild sehen die Abstände zum Ursprung verschieden groß aus. Das liegt allein an der Verkürzung der x1-Achse. Im Raum sind beide Punkte gleich weit vom Ursprung entfernt.

5.2 Arbeitsauftrag für GeoGebra 3D

Digitale Werkzeuge — Arbeitsauftrag

Der Explorer zeigt immer dieselbe Ansicht. GeoGebra kann den Raum drehen — probiere aus, was das ändert. Öffne den 3D-Rechner in einem neuen Tab:

www.geogebra.org/3d

  1. Gib die acht Eckpunkte des Schulgebäudes ein, zum Beispiel A=(10,0,0), B=(10,16,0) und so weiter bis G=(0,16,12).
  2. Zeichne die Dachfläche mit Vieleck(D,E,F,G). Drehe die Ansicht mit gedrückter Maustaste und sieh dir das Dach von mehreren Seiten an.
  3. Lass dir mit Spiegle(F, xOyEbene) den an der x1x2-Ebene gespiegelten Punkt zeichnen. Vergleiche mit Musteraufgabe 3.
  4. Und nun die Frage, die das Werkzeug nicht beantwortet: GeoGebra darf drehen, du in der Prüfung nicht — dort gilt die eine feste Schrägbild-Ansicht. Warum ist es trotzdem sinnvoll, sich auf 45 Grad und halbe Länge festzulegen? Aufgabe c) unten.

Kein Internet oder Seite gesperrt? Dann nutze den Explorer oben; für die Aufgaben a) und b) reicht er vollständig aus.

Erst schieben, dann erklären
leicht

a) Einstellen. Stelle im Explorer einen Punkt ein, der auf der x2-Achse liegt und dessen zweite Koordinate 4 ist. Notiere alle drei Koordinaten.

x1 =    x2 =    x3 =

b) Beobachten. Schiebe die Regler und lies die Anzeigeleiste mit.

Zeigt die Leiste genau eine Null, so liegt der Punkt
Punkt und Fußpunkt unterscheiden sich

c) Erklären. GeoGebra zeigt den Raum drehbar und aus jedem Winkel. Warum wird im Unterricht trotzdem eine feste Zeichenvorschrift verlangt — 45 Grad und halbe Länge? Schreibe zwei bis drei Sätze.

6 · Übungsaufgaben

Sieben Aufgaben, gestaffelt von leicht bis Transfer. Zwei Ratschläge: Zähle bei jeder Lageaufgabe zuerst die Nullen, und zähle bei jeder Spiegelungsaufgabe zuerst die Vorzeichenwechsel. Beides geht schneller als jede Zeichnung.

Aufgabe 1 — Besondere Lage erkennen
leicht

Ordne jedem Punkt seine Lage zu. Zähle dazu nur die Nullen.

PunktLage
(0 | 0 | 5)
(3 | 0 | 0)
(0 | 2 | 4)
(1 | 2 | 0)
(0 | 0 | 0)
(2 | 0 | 7)
Aufgabe 2 — Fußpunkt und Weg
leicht

Gegeben ist S(3 | 6 | 5). Gib die drei Koordinaten seines Fußpunktes S′ in der x1x2-Ebene an.

x1 =    x2 =    x3 =

Und eine Nachfrage: Wie viele der drei gestrichelten Wegstücke brauchst du, um S einzuzeichnen?

Aufgabe 3 — Ein Quader aus zwei Ecken
mittel

Ein achsenparalleler Quader hat die beiden gegenüberliegenden Ecken U(1 | 2 | 0) und V(5 | 8 | 4). „Achsenparallel“ heißt: Jede Kante läuft parallel zu einer der drei Achsen.

a) Gib die Ecke an, die senkrecht über U liegt.

x1 =    x2 =    x3 =

b) Wie viele der acht Ecken liegen in der x1x2-Ebene?  

c) Wie lang sind die drei Kanten, die von U ausgehen?

d) Liegt eine der acht Ecken auf einer Koordinatenachse?

Aufgabe 4 — Dreimal spiegeln
mittel

Gegeben ist P(3 | −2 | 5). Bestimme die drei Spiegelpunkte. Achte auf die Vorzeichen — bei negativen Ausgangswerten dreht sich das Minus zu einem Plus.

a) Am Ursprung:

b) An der x2-Achse:

c) An der x1x3-Ebene:

Aufgabe 5 — Fehlersuche in einer Schülerlösung
mittel

Aufgabe war: „Spiegle P(2 | −3 | 6) an der x1x3-Ebene.“ Eine Schülerin schreibt:

Die Schülerlösung
„Bei der x1x3-Ebene heißen die Achsen x1 und x3. Also drehe ich bei p1 und p3 die Vorzeichen um und lasse p2 stehen. Ergebnis: (−2 | −3 | −6).“

a) Gib das richtige Ergebnis an.

b) Was hat die Schülerin in Wahrheit ausgerechnet?

c) Erkläre in zwei bis drei Sätzen, wo ihr Denkfehler steckt — und nenne eine Kontrolle, mit der sie ihn selbst gefunden hätte.

Aufgabe 6 — Zwei Behauptungen prüfen
Transfer

Entscheide jeweils, ob die Behauptung stimmt. Eine Behauptung zu widerlegen heißt: ein einziges Gegenbeispiel angeben.

a) „Liegt ein Punkt in der x1x2-Ebene und in der x2x3-Ebene, dann liegt er auf der x2-Achse.“

b) „Liegen zwei Punkte symmetrisch zum Ursprung, dann liegen sie auch symmetrisch zu jeder Koordinatenachse.“

c) Begründe deine Antwort zu b) — mit einem konkreten Gegenbeispiel oder mit einem Argument über die Anzahl der Vorzeichenwechsel.

Aufgabe 7 — Die Solaranlage, weitergedacht
Transfer

Zurück zum Schulgebäude: 10 m tief, 16 m breit, hinten 12 m und vorne 8 m hoch, Ursprung in der hinteren linken Bodenecke. Auf dem Pultdach soll ein Modulfeld liegen, das ringsum 2 m Abstand zur Dachkante hält.

a) Die hintere linke Ecke des Modulfelds liegt 2 m weiter vorne und 2 m weiter rechts als D. Wie hoch liegt sie? Das Dach fällt auf 10 m Tiefe um 4 m ab, also 0,4 m je Meter.

x1 =    x2 =    x3 =

b) Hat diese Ecke eine besondere Lage?

c) Erkläre, warum der Monteur den Ursprung besser in eine Gebäudeecke legt als in die Mitte des Schulhofs. Nimm dabei Bezug auf die besonderen Lagen aus Musteraufgabe 2.

7 · Selbstkontrolle

Acht Aufgaben quer durch die Lektion. Rechne jeweils kurz nebenbei; am Ende bekommst du dein Ergebnis und, falls nötig, eine gezielte Empfehlung.

1. Welche Lage hat (0 | 7 | 0)?

2. Welche Lage hat (5 | 0 | 2)?

3. Spiegle (4 | 1 | 6) am Ursprung.

4. Spiegle (4 | 1 | 6) an der x1-Achse.

5. Spiegle (4 | 1 | 6) an der x2x3-Ebene.

6. Wie viele Vorzeichen wechseln bei der Spiegelung an einer Koordinatenebene?

Anzahl =

7. Wie hoch liegt die vordere Dachkante des Schulgebäudes, also die dritte Koordinate von E (in Metern)?

x3 =

8. Wie viele der acht Gebäudeecken liegen in der x1x2-Ebene?

Anzahl =

Das war Lektion 1 von 8

Diese Lektion ist die kostenlose Leseprobe des Selbstlernkurses „Vektoren im Raum“. Die weiteren sieben Lektionen führen den Kurs vom einzelnen Punkt bis zum Rauminhalt:

  1. Punkte im Raum und das Schrägbild ← diese Lektion
  2. Was ein Vektor ist — und was er nicht ist
  3. Rechnen mit Vektoren: addieren und strecken
  4. Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
  5. Kollinear, komplanar und die Linearkombination
  6. Das Skalarprodukt: Winkel und Orthogonalität
  7. Das Vektorprodukt: der Vektor, der senkrecht steht
  8. Das Spatprodukt: Rauminhalt und Komplanarität



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